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P_e(t)$通过求解薛定谔方程可得到布居数演化的微分方程$\frac{dP_e(t)}{dt} \Omega \mathrm{Re}\left[c_g^*(t)c_e(t)\right]$结合哈密顿量进一步推导可得到以 $P_e(t)$ 和相干项 $\rho_{ge}(t) c_g^*(t)c_e(t)$ 为变量的耦合微分方程组为后续有限差分离散化提供基础。三、有限差分法离散化方案3.1 时间离散化采用显式欧拉法对时间进行离散化将时间区间 $[0, T]$ 划分为 $N$ 个等距时间步时间步长 $\tau T/N$离散时间点记为 $t_n n\tau$$n 0, 1, 2, ..., N$。对于任意时间依赖量 $f(t)$其时间导数的有限差分近似为$\frac{df(t)}{dt}\bigg|_{tt_n} \approx \frac{f(t_{n1}) - f(t_n)}{\tau}$3.2 微分方程离散化将布居数演化的耦合微分方程组在时间点 $t_n$ 处进行离散化处理代入上述导数近似式得到递推公式$P_e(t_{n1}) P_e(t_n) \tau \cdot \Omega \cdot \mathrm{Re}\left[\rho_{ge}(t_n)\right]$$\rho_{ge}(t_{n1}) \rho_{ge}(t_n) \tau \cdot \left(-\mathrm{i}\Delta \rho_{ge}(t_n) - \frac{\mathrm{i}\Omega}{2}\left(1 - 2P_e(t_n)\right)\right)$其中初始条件设定为$t0$ 时原子处于基态即 $P_e(0) 0$$\rho_{ge}(0) 0$。通过该递推公式可从初始时刻开始逐步计算每个时间步的激发态布居数 $P_e(t_n)$实现拉比振荡过程的数值模拟。3.3 稳定性与步长选择显式欧拉法的稳定性受时间步长 $\tau$ 限制为保证模拟结果可靠需满足 $\tau \ll 1/\max(\Omega, |\Delta|)$即时间步长远小于拉比振荡周期和失谐相关周期的最小值。本模拟中通过收敛性测试确定最优步长 $\tau 0.01/\Omega$确保在不同失谐频率下均能获得稳定的演化曲线。四、不同失谐频率下的模拟结果与分析4.1 模拟参数设置固定拉比角频率 $\Omega 1$无量纲化处理模拟时间 $T 20\pi/\Omega$覆盖10个完整的共振拉比振荡周期设置失谐频率为 $\Delta -2\Omega$、$\Delta -\Omega$、$\Delta 0$共振、$\Delta \Omega$、$\Delta 2\Omega$分别对应负失谐、共振、正失谐三种场景探究失谐大小对振荡的影响。4.2 共振情况$\Delta 0$当驱动光场频率与原子跃迁频率相等时系统处于共振状态。模拟结果显示激发态布居数 $P_e(t)$ 呈现完美的周期性翻转演化规律为 $P_e(t) \sin^2(\Omega t/2)$振荡幅度为1即原子可在基态与激发态间完全翻转振荡周期 $T_R 2\pi/\Omega$。这一结果与理论解析解完全一致验证了有限差分法离散化方案的正确性。4.3 非共振情况$\Delta \neq 0$当存在失谐时拉比振荡的幅度和有效频率均发生显著变化具体特征如下振荡幅度衰减随着 $|\Delta|$ 增大激发态布居数的最大取值振荡幅度逐渐减小。当 $\Delta \pm\Omega$ 时最大 $P_e(t) 0.5$原子无法完全跃迁至激发态当 $\Delta \pm2\Omega$ 时最大 $P_e(t) 0.2$振荡幅度进一步降低。这是因为失谐导致驱动场与原子系统的耦合效率下降能量交换不充分。有效拉比频率增大非共振情况下系统的有效拉比角频率 $\Omega_{\text{eff}} \sqrt{\Omega^2 \Delta^2}$随着 $|\Delta|$ 增大$\Omega_{\text{eff}}$ 增大振荡周期 $T_{\text{eff}} 2\pi/\Omega_{\text{eff}}$ 减小。例如当 $\Delta \pm2\Omega$ 时$\Omega_{\text{eff}} \sqrt{5}\Omega \approx 2.236\Omega$周期缩短至共振周期的约44.7%。布居数不归零与共振时 $P_e(t)$ 可周期性回归0不同非共振情况下 $P_e(t)$ 的最小值大于0且 $|\Delta|$ 越大最小值越大。例如$\Delta \pm2\Omega$ 时$P_e(t)$ 的最小值约为0.05表明原子始终有一定概率处于激发态无法完全回到基态。4.4 失谐频率的调制作用总结失谐频率 $\Delta$ 对拉比翻转的调制本质是驱动场与原子系统的能量失配导致的“拍频”效应。当 $|\Delta| \ll \Omega$ 时系统接近共振振荡幅度接近1仅有效频率略有增大当 $|\Delta| \gg \Omega$ 时振荡幅度趋近于 $\Omega^2/(\Omega^2 \Delta^2)$逐渐趋于稳定振荡消失此时原子布居数基本保持在基态附近驱动场无法有效驱动原子跃迁。五、模拟结论与展望本研究采用有限差分法成功模拟了不同失谐频率下二能级原子的拉比振荡过程明确了失谐频率对振荡幅度、周期及布居数演化的调制规律共振时原子可实现完全拉比翻转非共振时振荡幅度随失谐绝对值增大而衰减有效周期随失谐绝对值增大而缩短。有限差分法作为一种简单高效的数值方法能够准确复现二能级系统的量子动力学演化为复杂量子系统的数值模拟提供了可行方案。未来可进一步拓展模拟场景例如考虑自发辐射、环境噪声等耗散效应或采用隐式有限差分法、Crank-Nicolson法等更高精度的离散化方案提升模拟的适用性和准确性同时可将模型推广至多能级原子系统探究多频驱动下的复杂拉比振荡现象为实际量子调控实验提供更全面的理论参考。⛳️ 运行结果 参考文献[1] 康念铅,邝先飞,李萍.Kerr效应和虚光场对两个二能级原子-单模光场系统光子统计演化特性的影响[J].江西师范大学学报自然科学版, 2007, 31(2):5.DOI:10.3969/j.issn.1000-5862.2007.02.003.[2] 刘宇浩.超导电路量子电动力学系统的调控与读取[D].南京大学[2025-12-28].[3] 许静平,羊亚平.场频率变化时原子与场的相互作用[J].物理学报, 2004, 53(7):6.DOI:10.3321/j.issn:1000-3290.2004.07.022. 部分代码 部分理论引用网络文献若有侵权联系博主删除 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真助力科研梦 各类智能优化算法改进及应用生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划2E-VRP、充电车辆路径规划EVRP、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维2.1 bp时序、回归预测和分类2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类2.14 PNN脉冲神经网络分类2.15 模糊小波神经网络预测和分类2.16 时序、回归预测和分类2.17 时序、回归预测预测和分类2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断图像处理方面图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知 路径规划方面旅行商问题TSP、车辆路径问题VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划EVRP、 双层车辆路径规划2E-VRP、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻 无人机应用方面无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划 通信方面传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配 信号处理方面信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理传输分析去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测电力系统方面微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电 元胞自动机方面交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀 雷达方面卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别 车间调度零等待流水车间调度问题NWFSP、置换流水车间调度问题PFSP、混合流水车间调度问题HFSP、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP