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河北区网站建设,小语种网站制作,关于网站策划的文章,在线二级域名子域名查询哈夫曼树#xff08;最优二叉树#xff09;- 期末核心考点整理 一、 哈夫曼树的定义 给定 n 个权值作为 n 个叶子结点#xff0c;构造一棵二叉树#xff0c;若该树的带权路径长度(WPL) 达到最小#xff0c;则称这样的二叉树为最优二叉树#xff0c;也称为哈夫曼树。 关键…哈夫曼树最优二叉树- 期末核心考点整理一、 哈夫曼树的定义给定n 个权值作为 n 个叶子结点构造一棵二叉树若该树的带权路径长度(WPL)达到最小则称这样的二叉树为最优二叉树也称为哈夫曼树。关键术语解释路径长度从树中一个结点到另一个结点之间的分支数目。树的路径长度从根结点到所有叶子结点的路径长度之和。带权路径长度(WPL)叶子结点的权值乘以其到根结点的路径长度所有叶子结点的带权路径长度之和。公式WPL∑i1nwi×liWPL\sum_{i1}^n w_i \times l_iWPL∑i1n​wi​×li​wiw_iwi​第iii个叶子结点的权值lil_ili​第iii个叶子结点到根的路径长度叶子结点哈夫曼树中只有叶子结点带有权值非叶子结点的权值为其左右子树权值之和。二、 哈夫曼树的核心特点结构特点哈夫曼树中没有度为 1 的结点只有度为 0叶子和度为 2非叶子的结点也叫严格二叉树/正则二叉树。若叶子结点数为nnn则非叶子结点数为n−1n-1n−1总结点数为2n−12n-12n−1。权值分布特点权值越大的叶子结点离根结点越近权值越小的叶子结点离根结点越远。哈夫曼树的形态不唯一但最小带权路径长度(WPL)是唯一的。构建特点构建过程采用贪心算法每次选择当前权值最小的两个结点合并成一个新的父结点。三、 哈夫曼树的构建步骤期末高频考点初始化将nnn个权值对应的结点分别作为nnn棵只含单个结点的二叉树构成一个森林FFF。合并操作从森林FFF中选取两棵根结点权值最小的二叉树作为左、右子树合并成一棵新二叉树。新二叉树的根结点权值 左子树根权值 右子树根权值。更新森林将合并后的新二叉树加入森林FFF同时移除原来的两棵子树。重复步骤重复 2、3 步直到森林FFF中只剩下一棵二叉树该树即为哈夫曼树。例题演示已知权值 {5, 6, 7, 8, 15}构建哈夫曼树并计算 WPL第一次合并5611 → 森林变为 {7, 8, 11, 15}第二次合并7815 → 森林变为 {11, 15, 15}第三次合并111526 → 森林变为 {15, 26}第四次合并152641 → 哈夫曼树构建完成计算 WPL5×36×37×28×215×11518141615785\times3 6\times3 7\times2 8\times2 15\times1 1518141615785×36×37×28×215×1151814161578四、 期末易考知识点与题型总结1. 概念判断题考点 1哈夫曼树没有度为 1 的结点 →正确考点 2权值越大的叶子离根越近 →正确考点 3哈夫曼树的 WPL 一定最小 →正确考点 4给定权值的哈夫曼树形态唯一 →错误2. 计算题考点 1根据权值构建哈夫曼树并计算 WPL必考考点 2已知叶子结点数nnn求总结点数 →2n−12n-12n−1考点 3已知 WPL 和部分权值反推缺失的权值3. 哈夫曼编码延伸考点常结合哈夫曼树考原理左分支编码为 0右分支编码为 1从根到叶子的路径编码即为该叶子的哈夫曼编码。特点哈夫曼编码是前缀编码任意一个编码都不是另一个编码的前缀可保证解码无歧义。题型根据哈夫曼树生成编码或根据编码反推树的结构。4. 易错点提醒合并时必须选当前最小的两个权值顺序错误会导致 WPL 计算错误。WPL 计算只针对叶子结点非叶子结点不计入。哈夫曼树的根结点权值 所有叶子结点权值之和。五、 高频选择题/填空题速记含nnn个叶子结点的哈夫曼树总结点数 2n−1\boldsymbol{2n-1}2n−1。哈夫曼树的带权路径长度 WPL 是所有可能二叉树中最小的。哈夫曼编码是一种最优前缀编码广泛应用于数据压缩如 ZIP 压缩。哈夫曼树核心考点选择题4题考点一哈夫曼树结点数量关系含n个叶子结点的总结点数2n-1第1题已知一棵哈夫曼树包含8个叶子结点该树的总结点数为 A. 14B. 15C. 16D. 17答案B 解析根据公式“含n个叶子结点的哈夫曼树总结点数2n-1”代入n8可得2×8-115故选B。第2题某哈夫曼树的总结点数为23该树中叶子结点的个数是 A. 11B. 12C. 22D. 23答案B 解析设叶子结点数为n由总结点数2n-1可得2n-123解得n12故选B。考点二哈夫曼编码的特性与编码原理第3题关于哈夫曼编码的描述下列说法正确的是 A. 哈夫曼编码不是前缀编码解码时易产生歧义B. 哈夫曼编码是最优前缀编码可用于数据压缩C. 哈夫曼编码的编码长度固定便于快速存储D. 哈夫曼编码仅适用于文本数据无法处理图像数据答案B 解析哈夫曼编码的核心特性是“最优前缀编码”任意编码都不是其他编码的前缀保证解码无歧义且因编码长度与权值匹配压缩效率高广泛应用于ZIP等压缩场景故选B。A、C、D均不符合哈夫曼编码的特性。第4题在哈夫曼编码的生成规则中若从根结点到某叶子结点的路径为“根→左子树→右子树→左子树”则该叶子结点的哈夫曼编码为 A. 010B. 011C. 100D. 101答案A 解析哈夫曼编码规则为“左分支编码为0右分支编码为1”该路径依次经过左0、右1、左0拼接后编码为010故选A。