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邯郸网站建设服务,四平市城乡建设局网站,洛阳app制作公司,wordpress快速建站教程视频教程计算机组成原理期末10分的计算题#xff1a;定点数加减法#xff08;注意溢出#xff09;与浮点数加减法详解关键词#xff1a;计算机组成原理、定点数、浮点数、补码、溢出检测、IEEE 754、期末复习、CSDN技术博客引言 在《计算机组成原理》这门课程中#xff0c;数值的表…计算机组成原理期末10分的计算题定点数加减法注意溢出与浮点数加减法详解关键词计算机组成原理、定点数、浮点数、补码、溢出检测、IEEE 754、期末复习、CSDN技术博客引言在《计算机组成原理》这门课程中数值的表示与运算是核心内容之一。尤其是在期末考试中定点数和浮点数的加减法运算常常以“10分大题”的形式出现既考察学生对底层硬件逻辑的理解也检验其对二进制运算规则的掌握程度。本文将系统性地讲解定点数的表示方法原码、反码、补码定点数加减法的实现原理溢出的判断方法单符号位 vs 双符号位浮点数的 IEEE 754 标准格式浮点数加减法的完整步骤对阶、尾数运算、规格化、舍入、溢出处理典型例题解析与易错点提醒全文约6500字适合期末冲刺复习或深入理解计算机底层数值运算机制的同学阅读。建议配合纸笔演算效果更佳一、定点数的表示与加减法1.1 什么是定点数定点数是指小数点位置固定不变的数。在计算机中通常将小数点隐含在最低位之后即整数或最高位之前即纯小数。例如整数定点数1011表示十进制11小数定点数0.1011表示十进制0.6875由于硬件实现简单定点数广泛用于嵌入式系统、DSP 等对性能要求高但精度要求不高的场景。1.2 定点数的编码方式1原码Sign-Magnitude最高位为符号位0 表示正1 表示负数值部分直接用二进制表示例如8位5→0000 0101-5→1000 0101缺点0 有两种表示0:0000 0000-0:1000 0000加减法需判断符号电路复杂2反码Ones’ Complement正数同原码负数符号位为1数值位按位取反例如5→0000 0101-5→1111 1010缺点仍有 ±0 问题且加法需“循环进位”end-around carry3补码Two’s Complement✅主流表示法正数同原码负数反码 1例如8位5→0000 0101-5→1111 1011因为1111 1010 1 1111 1011优点0 唯一表示0000 0000减法可转化为加法A - B A (-B)硬件实现简单现代 CPU 均采用补码重要结论定点数加减法默认使用补码表示1.3 定点数加减法运算规则1基本思想利用补码的特性将减法转换为加法A−BA(−B) A - B A (-B)A−BA(−B)其中-B是B的补码。2运算步骤将操作数转换为补码形式直接进行二进制加法包括符号位判断是否发生溢出若未溢出结果即为补码形式若需输出原码可再转换1.4 溢出Overflow的判断这是定点数运算中最容易失分的部分溢出 ≠ 进位。❗ 溢出的本质当运算结果超出了机器所能表示的范围时称为溢出。例如 8 位补码能表示的范围是-128 ~ 127若结果为 128 或 -129则溢出。1单符号位法常用设两个操作数为A和B结果为S符号位分别为A_s,B_s,S_s。正溢出两正数相加结果为负A_s0, B_s0, S_s1负溢出两负数相加结果为正A_s1, B_s1, S_s0✅口诀同号相加结果异号 → 溢出2双符号位法变形补码又称模4补码符号位用两位表示00表示正11表示负运算后00→ 正确正数11→ 正确负数01→ 正溢出10→ 负溢出✅口诀双符号位不同 → 溢出3进位判断法硬件常用设符号位产生的进位为C_s最高数值位产生的进位为C_{n-1}。若C_s ⊕ C_{n-1} 1→ 溢出若C_s ⊕ C_{n-1} 0→ 无溢出 这是因为只有当符号位进位与数值位进位不一致时才说明结果“跳变”了符号。1.5 定点数加减法典型例题例题18位补码下计算75 60判断是否溢出解75的补码0100 101160的补码0011 1100相加0100 1011 (75) 0011 1100 (60) ------------- 1000 0111 → 符号位为1表示负数但75 60 135 127超出8位补码正数上限符号位0 0 1→ 同号相加得异号 →正溢出双符号位法扩展为9位00 100101100 0111100和01 0000111→ 双符号位01→正溢出✅结论发生正溢出结果无效例题2计算-64 (-72)8位补码解-64补码1100 0000注意-64 -2⁶在8位中可表示-72补码先求 72 0100 1000→ 反码1011 0111→ 补码1011 1000相加1100 0000 (-64) 1011 1000 (-72) ------------- 1 0111 1000 → 丢弃最高位进位得 0111 1000结果符号位为0但两个负数相加得正数A_s1, B_s1, S_s0→负溢出实际值-64 (-72) -136 -128超出范围✅结论发生负溢出二、浮点数的表示与加减法2.1 为什么需要浮点数定点数无法同时兼顾大范围和高精度。例如表示0.0000001和1000000000需要大量位数科学计算、图形渲染等场景需要动态调整小数点位置因此引入浮点数Floating Point其思想类似于科学计数法N(−1)S×M×RE N (-1)^S \times M \times R^EN(−1)S×M×RE其中SSS符号位MMM尾数Mantissa / SignificandRRR基数通常为2EEE阶码Exponent2.2 IEEE 754 标准目前绝大多数计算机采用IEEE 754标准表示浮点数。单精度32位格式位数3130~2322~0含义符号位 S阶码 E8位尾数 M23位阶码采用偏移码Excess-127实际阶值 E - 127尾数隐含前导1规格化数实际尾数 1.M例如1.101 × 2³存储时尾数存101...阶码存3 127 130 10000010双精度64位格式位数6362~5251~0含义SE11位偏移1023M52位特殊值E 值M 值含义00±00≠0非规格化数denormalized255单精度0±∞255≠0NaNNot a Number2.3 浮点数加减法运算步骤浮点加减法比定点复杂得多需经过5 个步骤对阶 → 尾数运算 → 规格化 → 舍入 → 溢出判断我们以单精度为例详细说明。步骤1对阶Alignment目标使两个数的阶码相同以便尾数相加。方法求阶差ΔEEx−Ey\Delta E E_x - E_yΔEEx​−Ey​将阶码较小的数右移∣ΔE∣\lvert \Delta E \rvert∣ΔE∣位尾数右移阶码增加为保证精度右移时需保留保护位guard, round, sticky bits⚠️注意总是小阶向大阶对齐避免左移导致精度丢失。步骤2尾数加减对阶后尾数可直接进行定点加减法注意尾数是原码还是补码IEEE 754 中尾数以原码形式存储但运算时通常转为补码处理符号实际硬件中会根据符号位决定做加法还是减法。步骤3规格化Normalization目的使结果符合 IEEE 754 的规格化形式即1.xxxx左规若尾数最高两位为01或10即 |M| ≥ 2则左移1位阶码减1右规若尾数最高位为0即 |M| 1则右移1位阶码加1例如尾数10.1101→ 左规 →1.01101阶码 1步骤4舍入Rounding由于尾数位数有限23位需对多余位进行舍入。IEEE 754 定义了多种舍入模式最常用的是就近舍入Round to Nearest, Even若多余位 0.5 ulp → 进位若 0.5 ulp → 向偶数方向舍入使最低有效位为0ulpunit in the last place最后一位的单位值步骤5溢出判断阶码上溢E 255 → 置为∞或-∞阶码下溢E 0且非规格化数也无法表示→ 置为 0注意浮点溢出看的是阶码不是尾数2.4 浮点数加减法完整例题例题计算X 2^4 × 1.1011与Y 2^2 × (-1.1100)的和假设为简化版 IEEE尾数4位阶码偏移7为便于手算我们使用自定义简化格式阶码3位偏移7尾数4位隐含前导1符号位1位Step 1写出 X 和 Y 的机器数X 1.1011 × 2⁴S 0E 4 7 11 1011但阶码只有3位矛盾→ 改为偏移33位阶码范围 -3~4重新设定偏移 3X: E 4 3 7 111M 1011→ 机器数0 111 1011Y: -1.1100 × 2² → S1, E235101, M1100→1 101 1100Step 2对阶E_X 7, E_Y 5 → ΔE 2Y 阶码小尾数右移2位Y 尾数原为1.1100→ 右移2位 →0.0111注意符号为负新 Y -0.0111 × 2⁷Step 3尾数运算X 尾数1.1011Y 尾数-0.0111相加1.1011 - 0.0111 1.0100Step 4规格化结果1.0100 × 2⁷已是规格化形式1.xxxStep 5舍入与溢出尾数正好4位无需舍入阶码 E7在3位阶码中最大为7偏移3 → 实际阶4未溢出最终结果0 111 0100→ 即 1.0100 × 2⁴ 20十进制✅ 验证X 1.1011₂ × 16 (1 0.5 0.125 0.0625) × 16 1.6875 × 16 27Y -1.1100₂ × 4 -(1 0.5 0.25) × 4 -1.75 × 4 -727 (-7) 20 ✔️2.5 浮点运算中的常见陷阱对阶时精度丢失小数右移可能导致低位被截断尤其当两数数量级相差很大时如1e20 1≈1e20舍入误差累积多次运算后误差可能放大科学计算中需注意算法稳定性NaN 和无穷大的传播任何数与 NaN 运算结果仍为 NaN比较浮点数不能用应使用abs(a - b) ε判断相等三、定点 vs 浮点对比总结特性定点数浮点数表示范围小由位数决定极大由阶码决定精度固定最低位权值固定动态大数精度低小数精度高运算速度快硬件简单慢需多步处理硬件成本低高需FPU典型应用嵌入式、音频处理科学计算、3D图形四、期末考试高频考点与答题技巧 考点1补码加减与溢出判断必考务必写出补码形式明确使用哪种溢出判断法推荐单符号位法简洁若溢出必须注明“结果无效”或“溢出”✍️ 答题模板“A 的补码为……B 的补码为……相加得……。由于两正数相加结果为负发生正溢出故结果无效。” 考点2浮点加减法步骤10分大题按5步顺序作答缺一不可对阶时写出阶差和右移过程规格化时说明左规/右规次数最后写出结果的 IEEE 754 二进制形式及十进制值✍️ 答题模板“1. 对阶E_X…, E_Y…, ΔE…将Y尾数右移…位得…2. 尾数运算… … …3. 规格化结果为…需左规1次阶码变为…4. 舍入…5. 检查溢出阶码…未溢出。最终结果为…” 考点3特殊值处理能识别±0、±∞、NaN的二进制形式知道∞ - ∞ NaN0 × ∞ NaN等规则五、结语定点数与浮点数的加减法看似只是“二进制计算”实则蕴含了计算机体系结构设计的深刻智慧。从补码的巧妙构造到 IEEE 754 对精度与范围的权衡无不体现工程师在有限硬件资源下的极致优化。期末考试中这类题目往往拉开分数差距。希望本文能帮助你理清概念不再混淆“进位”与“溢出”掌握浮点运算的标准化流程在考场上稳拿这宝贵的10分最后提醒多动手演算纸上谈兵终觉浅亲手算几道题胜过看十遍理论。附录常用数值范围速查类型位数表示范围十进制8位补码8-128 ~ 12716位补码16-32768 ~ 32767IEEE 754 单精度32≈ ±1.2×10⁻³⁸ ~ ±3.4×10³⁸IEEE 754 双精度64≈ ±2.2×10⁻³⁰⁸ ~ ±1.8×10³⁰⁸参考文献《计算机组成与设计硬件/软件接口》 David A. Patterson John L. HennessyIEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754-2008)哈工大《计算机组成原理》课程讲义原创声明本文为 CSDN 博客原创转载请注明出处。欢迎点赞、收藏、评论交流