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PID控制器设计% 设定目标无超调或小超调较快响应% 使用 pidtune 自动整定也可手动调整C pidtune(G, ‘PID’);disp(‘自动整定的PID控制器:’);disp©;%% 3. 闭环系统仿真sys_cl feedback(CG, 1); % 单位负反馈% 阶跃响应设定液位参考值变化如从1m到1.2mt 0:0.1:100;[y, t] step(sys_cl, t);% 绘图figure;plot(t, y, ‘b’, ‘LineWidth’, 1.5);hold on;plot(t, ones(size(t)), ‘k–’); % 参考值 1归一化xlabel(‘时间 (s)’);ylabel(‘液位变化 \Delta h (m)’);title(‘单容水箱液位PID控制阶跃响应’);grid on;legend(‘液位响应’, ‘设定值’);%% 4. 显示性能指标可选S stepinfo(sys_cl);fprintf(‘\n— 阶跃响应性能指标 —\n’);fprintf(‘上升时间: %.2f s\n’, S.RiseTime);fprintf(‘调节时间: %.2f s\n’, S.SettlingTime);fprintf(‘超调量: %.2f %%\n’, S.Overshoot);fprintf(‘稳态误差: %.4f\n’, 1 - y(end));%% 5. 可选手动调整PID参数% C_manual pid(2, 0.5, 0.1); % 示例Kp2, Ki0.5, Kd0.1% sys_manual feedback(C_manual*G, 1);% [y2, t2] step(sys_manual, t);% plot(t2, y2, ‘r–’);% legend(‘自动PID’, ‘设定值’, ‘手动PID’);三、说明建模方法采用机理法白箱模型基于质量守恒和流体力学原理。线性化在工作点附近线性化得到一阶惯性环节。控制器使用 pidtune 自动整定 PID 参数也可手动调整。仿真内容单位阶跃响应评估系统动态性能上升时间、超调、稳态误差等。四、扩展建议用于设计报告加入非线性仿真对比用 Simulink 实现原始非线性模型分析不同 PID 参数对系统性能的影响Ziegler-Nichols 方法对比考虑扰动抑制如出口流量突变添加抗积分饱和机制这是一个典型的单容水箱液位控制系统的建模与控制问题。描述了如下系统水箱横截面积 $ A 0.01 , \text{m}^2 $进水流量 $ Q_1 $由进水阀调节出水流量 $ Q_2 $通过出水口自由流出遵循托里拆利定律液位高度为 $ h(t) $控制目标维持液位在设定值 $ h_{\text{set}} 0.4 , \text{m} $✅ 一、机理建模白箱模型质量守恒方程AdhdtQ1−Q2 A \frac{dh}{dt} Q_1 - Q_2Adtdh​Q1​−Q2​出口流量关系托里拆利公式Q2CdAo2gh Q_2 C_d A_o \sqrt{2gh}Q2​Cd​Ao​2gh​其中$ C_d $流量系数通常取 0.6~0.8这里设为 0.6$ A_o出口面积出口面积出口面积A_o \pi (d/2)^2 \pi (0.05/2)^2 \approx 1.9635 \times 10^{-3} , \text{m}^2 $$ g 9.81 , \text{m/s}^2 $所以 $ Q_2 k \sqrt{h} $其中 $ k C_d A_o \sqrt{2g} $计算得matlabCd 0.6;Ao pi(0.05/2)^2; % 出口面积g 9.81;k Cd Ao sqrt(2g); % 约等于 0.0097 m³/s所以AdhdtQ1−kh A \frac{dh}{dt} Q_1 - k \sqrt{h}Adtdh​Q1​−kh​✅ 二、线性化建模工作点 $ h_0 0.4 $ m令 $ h h_0 \Delta hQ_1 Q_{10} \Delta q $在 $ h_0 0.4 $ 处对非线性项 $ \sqrt{h} $ 展开h≈h012h0Δh \sqrt{h} \approx \sqrt{h_0} \frac{1}{2\sqrt{h_0}} \Delta hh​≈h0​​2h0​​1​Δh代入原式Ad(Δh)dtΔq−k(h012h0Δh)Δq−kh0−k2h0Δh A \frac{d(\Delta h)}{dt} \Delta q - k \left( \sqrt{h_0} \frac{1}{2\sqrt{h_0}} \Delta h \right) \Delta q - k\sqrt{h_0} - \frac{k}{2\sqrt{h_0}} \Delta hAdtd(Δh)​Δq−k(h0​​2h0​​1​Δh)Δq−kh0​​−2h0​​k​Δh稳态时 $ \Delta h 0 $所以 $ Q_{10} k \sqrt{h_0} $忽略常数项得到线性化模型Ad(Δh)dtk2h0ΔhΔq A \frac{d(\Delta h)}{dt} \frac{k}{2\sqrt{h_0}} \Delta h \Delta qAdtd(Δh)​2h0​​k​ΔhΔq令时间常数 $ T \frac{2A\sqrt{h_0}}{k} $增益 $ K \frac{2\sqrt{h_0}}{k} $则传递函数为G(s)ΔH(s)ΔQ1(s)KTs1 G(s) \frac{\Delta H(s)}{\Delta Q_1(s)} \frac{K}{T s 1}G(s)ΔQ1​(s)ΔH(s)​Ts1K​✅ 三、MATLAB 仿真代码含线性模型 PID 控制matlab%% 单容水箱液位PID控制系统设计基于题目参数clear; clc; close all;%% 1. 系统参数来自题目A 0.01; % 水箱横截面积 (m²)d_out 0.05; % 出口直径 (m)Cd 0.6; % 流量系数g 9.81; % 重力加速度h0 0.4; % 工作点液位 (m)% 计算出口面积和流量系数kAo pi (d_out/2)^2;k Cd Ao sqrt(2g); % Q2 ksqrt(h)% 线性化参数K 2 sqrt(h0) / k; % 增益T 2 A sqrt(h0) / k; % 时间常数% 传递函数 G(s) K / (Ts 1)num K;den [T, 1];G tf(num, den);disp(‘线性化传递函数:’);disp(G);%% 2. PID控制器设计使用pidtune自动整定C pidtune(G, ‘PID’);disp(‘PID控制器参数:’);disp©;%% 3. 闭环系统sys_cl feedback(CG, 1);%% 4. 阶跃响应仿真t 0:0.1:100;[y, t] step(sys_cl, t);figure;plot(t, y, ‘b’, ‘LineWidth’, 1.5);hold on;plot(t, ones(size(t)), ‘k–’); % 设定点xlabel(‘时间 (s)’);ylabel(‘液位变化 \Delta h (m)’);title(‘单容水箱液位PID控制阶跃响应’);grid on;legend(‘实际液位’, ‘设定值’);%% 5. 性能指标分析S stepinfo(sys_cl);fprintf(‘\n— 性能指标 —\n’);fprintf(‘上升时间: %.2f s\n’, S.RiseTime);fprintf(‘调节时间: %.2f s\n’, S.SettlingTime);fprintf(‘超调量: %.2f %%\n’, S.Overshoot);fprintf(‘稳态误差: %.4f\n’, 1 - y(end));✅ 四、补充说明可用于设计报告参数 数值 说明$ A $ 0.01 m² 水箱横截面积$ d $ 0.05 m 出口直径$ h_0 $ 0.4 m 工作点液位$ k $ ≈ 0.0097 m³/s 出口流量系数$ K $ ≈ 1.88 系统增益$ T $ ≈ 8.5 s 时间常数注本模型为线性化模型适用于小扰动范围。若需精确模拟可用 Simulink 构建非线性系统。✅ 五、扩展建议可选使用 Simulink 实现非线性模型创建一个 Simulink 模型Integrator 表示 $ h $输入$ Q_1 $输出$ Q_2 k \cdot \sqrt{h} $方程$ dh/dt (Q_1 - Q_2)/A $手动 PID 参数整定Ziegler-Nichols可通过临界比例法手动调整 PID 参数。