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优惠券推广网站怎么做,wordpress虚拟主机无法发邮件,云搜索引擎入口,网络专题策划书模板如果要构建安装 Ceres Solver#xff0c;可以参考文章《CMake构建学习笔记30-Ceres Solver库的构建》。Ceres Solver 的构建过程还是挺麻烦的#xff0c;推荐直接找预编译版本#xff0c;比如 GISBasic3rdParty。 还是求解与《最小二乘问题详解8#xff1a;Levenberg-Marq…如果要构建安装 Ceres Solver可以参考文章《CMake构建学习笔记30-Ceres Solver库的构建》。Ceres Solver 的构建过程还是挺麻烦的推荐直接找预编译版本比如 GISBasic3rdParty。还是求解与《最小二乘问题详解8Levenberg-Marquardt方法》一样的最小二乘问题模型函数为f(x;θ)exp(ax2bxc)具体代码如下#include ceres/autodiff_cost_function.h #include ceres/ceres.h #include ceres/covariance.h #include iostream #include random #include vector using namespace std; // 残差计算结构体用于自动微分 struct ExpModelResidual { ExpModelResidual(double x, double y) : x_(x), y_(y) {} // 模板 operator() 支持自动微分 template typename T bool operator()(const T* const a, const T* const b, const T* const c, T* residual) const { // 计算指数部分: a*x^2 b*x c T exponent (*a) * T(x_) * T(x_) (*b) * T(x_) (*c); // 防止 exp 溢出Ceres 内部对梯度也有保护但这里加一层更稳 const T kMaxExp T(300.0); if (exponent kMaxExp) exponent kMaxExp; if (exponent -kMaxExp) exponent -kMaxExp; T y_pred ceres::exp(exponent); residual[0] T(y_) - y_pred; return true; } private: const double x_; const double y_; }; int main() { // // 1. 真实参数 // double a_true 0.05, b_true -0.4, c_true 1.0; cout 真实参数: a a_true , b b_true , c c_true endl; // // 2. 生成带噪声的数据 // int N 50; vectordouble x_data(N), y_data(N); random_device rd; mt19937 gen(rd()); uniform_real_distributiondouble x_dis(-5.0, 5.0); normal_distributiondouble noise_gen(0.0, 0.1); // 噪声标准差 0.1 for (int i 0; i N; i) { x_data[i] x_dis(gen); double y_true exp(a_true * x_data[i] * x_data[i] b_true * x_data[i] c_true); y_data[i] y_true noise_gen(gen); } // // 3. 初始化参数猜测 // double a 0.0, b 0.0, c 0.0; cout 初始猜测: a a , b b , c c endl; // // 4. 构建 Ceres 问题 // ceres::Problem problem; for (int i 0; i N; i) { ceres::CostFunction* cost_function new ceres::AutoDiffCostFunctionExpModelResidual, 1, 1, 1, 1( new ExpModelResidual(x_data[i], y_data[i])); problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, a, b, c); } // // 5. 配置并运行求解器 // ceres::Solver::Options options; options.linear_solver_type ceres::DENSE_NORMAL_CHOLESKY; options.minimizer_progress_to_stdout true; // 打印迭代过程 options.max_num_iterations 50; options.function_tolerance 1e-12; options.gradient_tolerance 1e-10; options.parameter_tolerance 1e-8; ceres::Solver::Summary summary; ceres::Solve(options, problem, summary); cout summary.BriefReport() \n; // // 6. 输出结果 // cout --- 拟合完成 --- endl; cout 估计参数: a a , b b , c c endl; cout 真实参数: a a_true , b b_true , c c_true endl; // 计算最终残差平方和 double final_cost 0.0; for (int i 0; i N; i) { double pred exp(a * x_data[i] * x_data[i] b * x_data[i] c); double r y_data[i] - pred; final_cost r * r; } cout 最终残差平方和: final_cost endl; // // 7. 可选计算参数协方差与标准差 // ceres::Covariance::Options cov_options; ceres::Covariance covariance(cov_options); vectorpairconst double*, const double* covariance_blocks; covariance_blocks.emplace_back(a, a); covariance_blocks.emplace_back(b, b); covariance_blocks.emplace_back(c, c); if (!covariance.Compute(covariance_blocks, problem)) { cerr 协方差计算失败 endl; return 1; } double cov_a, cov_b, cov_c; covariance.GetCovarianceBlock(a, a, cov_a); covariance.GetCovarianceBlock(b, b, cov_b); covariance.GetCovarianceBlock(c, c, cov_c); // 估计噪声方差 σ² RSS / (N - p) double sigma2 final_cost / (N - 3); double std_a sqrt(cov_a * sigma2); double std_b sqrt(cov_b * sigma2); double std_c sqrt(cov_c * sigma2); cout \n参数标准差 (近似): endl; cout a: ± std_a endl; cout b: ± std_b endl; cout c: ± std_c endl; return 0; }可以看到Ceres Solver 的实现思路与原生的基于 Eigen 的实现思路完全不同。原生的基于 Eigen 的实现只要按照 Levenberg-Marquardt 方法的原理来实现即可反而更容易理解但是 Ceres Solver 的实现则需要考虑通用性提供的接口更加抽象。所以这也是笔者写那么多前置文章的原因对于一个需要专业知识的程序库如果你不理解其中的原理很可能也没法正确地使用它。2.1 构建问题从前置文章中可以知道无论是 Gauss-Newton 法、梯度下降法还是 Levenberg-Marquardt 方法关键的问题在于求解问题模型的雅可比矩阵。但是对于用户来说更加熟悉的是最小二乘问题的残差也就是y−f(x;θ)。因此Ceres Solver 的核心思想就是以残差为中心组织代码关于雅可比矩阵的数值计算则作为 Ceres Solver 优化器的内部机制。参看如下关键代码// // 4. 构建 Ceres 问题 // ceres::Problem problem; for (int i 0; i N; i) { ceres::CostFunction* cost_function new ceres::AutoDiffCostFunctionExpModelResidual, 1, 1, 1, 1( new ExpModelResidual(x_data[i], y_data[i])); problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, a, b, c); }这里的CostFunction代价函数是什么意思呢简而言之可以将其理解成一个残差项ri(θ)yi−f(xi;θ)但是更准确地说它是一个“残差块生成器”——封装了“如何计算一个残差向量及其对参数的导数”的完整逻辑。在 Ceres Solver 中ceres::CostFunction是一个接口类它的核心方法是bool Evaluate(double const* const* parameters, double* residuals, double** jacobians);从这个接口参数可以看到ceres::CostFunction不仅可以计算residuals即 ri还可以计算jacobians即 ∂ri∂θ。所以它不仅仅是残差函数而是残差 导数的联合计算单元。Ceres Solver 支持三种雅可比矩阵的计算方式自动微分AutoDiffCostFunction精度高、无需手写Jacobian。例如这里的ExpModelResidual。数值微分NumericDiffCostFunction用有限差分近似导数用于黑盒函数。解析微分继承CostFunction用户自定义Jacobian适用于需要极致性能的情况。但无论哪种方式残差的定义不变一个ceres::CostFunction代表一个残差项最后都通过AddResidualBlock接口将残差项对象添加到定义好的问题模型ceres::Problem中。大概来说可以这样理解数学概念Ceres 实现残差函数ri(θ)ExpModelResidual::operator()只算值残差 Jacobian 计算ceres::AutoDiffCostFunction...自动微分包装后可被优化器调用的完整残差项ceres::CostFunction*展开自定义的残差计算单元ExpModelResidual// 残差计算结构体用于自动微分 struct ExpModelResidual { ExpModelResidual(double x, double y) : x_(x), y_(y) {} // 模板 operator() 支持自动微分 template typename T bool operator()(const T* const a, const T* const b, const T* const c, T* residual) const { // 计算指数部分: a*x^2 b*x c T exponent (*a) * T(x_) * T(x_) (*b) * T(x_) (*c); // 防止 exp 溢出Ceres 内部对梯度也有保护但这里加一层更稳 const T kMaxExp T(300.0); if (exponent kMaxExp) exponent kMaxExp; if (exponent -kMaxExp) exponent -kMaxExp; T y_pred ceres::exp(exponent); residual[0] T(y_) - y_pred; return true; } private: const double x_; const double y_; };可以看到ExpModelResidual::operator()的实现本质上就是残差函数 ri(θ) 的计算过程。当它被ceres::AutoDiffCostFunction包装后Ceres 能够自动完成求导从而生成对应的雅可比矩阵项。其关键在于这一行代码T y_pred ceres::exp(exponent);这里使用的是ceres::exp而非标准库中的std::exp。这是因为在自动微分AutoDiffCostFunction过程中Ceres 会将模板参数T实例化为一种特殊的数值类型——ceres::JetT, N。该类型不仅存储函数值还同时携带其对若干参数的偏导数。为了支持这种类型的运算Ceres 为常见的数学函数提供了重载版本这些版本能够正确传播导数信息即应用链式法则。虽然底层涉及 C 模板和编译期“计算图录制”的机制理解起来有一定门槛但用户只需遵循一个简单规则在残差函数的实现中所有数学运算必须使用ceres::命名空间下的函数而不能使用std::或全局命名空间中的版本。具体的需要替换的常见函数对照表如下标准写法❌ 错误Ceres 正确写法✅ 必须使用说明std::exp(x)ceres::exp(x)指数函数std::log(x)ceres::log(x)自然对数std::log10(x)ceres::log10(x)常用对数std::sqrt(x)ceres::sqrt(x)平方根std::pow(x, y)ceres::pow(x, y)幂函数注意y也应为模板类型Tstd::sin(x)ceres::sin(x)正弦函数std::cos(x)ceres::cos(x)余弦函数std::tan(x)ceres::tan(x)正切函数std::asin(x)ceres::asin(x)反正弦函数std::acos(x)ceres::acos(x)反余弦函数std::atan(x)ceres::atan(x)反正切函数std::sinh(x)ceres::sinh(x)双曲正弦std::cosh(x)ceres::cosh(x)双曲余弦std::tanh(x)ceres::tanh(x)双曲正切std::abs(x)/std::fabs(x)ceres::abs(x)绝对值⚠️ 在 0 处不可导慎用std::max(a, b)ceres::max(a, b)最大值⚠️ 在相等点不可导需谨慎std::min(a, b)ceres::min(a, b)最小值⚠️ 在相等点不可导需谨慎只要遵守上述规范Ceres 就能在运行时自动、高效且精确地计算出残差及其雅可比矩阵无需用户手动推导或实现导数逻辑。2.2 配置参数接下来看一下核心配置部分的代码// // 5. 配置并运行求解器 // ceres::Solver::Options options; options.linear_solver_type ceres::DENSE_NORMAL_CHOLESKY; options.minimizer_progress_to_stdout true; // 打印迭代过程 options.max_num_iterations 50; options.function_tolerance 1e-12; options.gradient_tolerance 1e-10; options.parameter_tolerance 1e-8;逐项详解求解器的配置参数options.linear_solver_type ceres::DENSE_NORMAL_CHOLESKY;指定每次迭代中求解线性子问题即 (JTJλD)ΔθJTr所用的线性代数求解器类型。常见的选项如下所示类型适用场景说明DENSE_NORMAL_CHOLESKY小规模稠密问题p100构造正规方程AJTJ用 Cholesky 分解求解。DENSE_QR小规模但J 可能病态直接对J 做 QR 分解更稳定但稍慢SPARSE_NORMAL_CHOLESKY大规模稀疏问题如 SLAM、Bundle Adjustment利用JTJ 的稀疏性ITERATIVE_SCHUR/CGNR超大规模问题迭代法内存友好options.minimizer_progress_to_stdout true;是否将优化过程的迭代信息打印到标准输出。通过打印内容可以看迭代过程是否收敛、是否震荡、步长是否合理。options.max_num_iterations 50;最大迭代次数。即使未收敛达到此次数后强制停止。防止算法陷入死循环控制计算时间上限。对于简单问题20~50 次就足够了 复杂 BA 这样的复杂问题可能需要 100~200 次。options.function_tolerance 1e-12;目标函数cost的相对变化容差即S(θk)−S(θk1)S(θk)function\_tolerance。当连续两次迭代的 cost 相对变化小于此值时认为收敛。高精度拟合可设置为1e-12~1e-15一般应用可设置为1e-6~1e-9。options.gradient_tolerance 1e-10;梯度范数的绝对容差。当 ∥∇S(θ)∥∥JTr∥ 小于此值时认为达到极小点。通常设为1e-8~1e-12不受 cost 绝对大小影响比function_tolerance更可靠是最常用的收敛判据之一。options.parameter_tolerance 1e-8;参数更新量的绝对容差。当 ∥Δθ∥ 小于此值时认为参数不再显著变化。注意如果参数尺度差异大如 a≈0.01, b≈1000此判据可能不合理根据参数实际量级调整。2.3 优化报告案例运行的结果如下所示真实参数: a0.05, b-0.4, c1 初始猜测: a0, b0, c0 iter cost cost_change |gradient| |step| tr_ratio tr_radius ls_iter iter_time total_time 0 5.127046e03 0.00e00 4.99e03 0.00e00 0.00e00 1.00e04 0 7.05e-05 2.06e-04 1 8.359362e34 -8.36e34 4.99e03 0.00e00 -1.83e31 5.00e03 1 1.35e-04 6.28e-04 2 8.256445e34 -8.26e34 4.99e03 0.00e00 -1.81e31 1.25e03 1 1.89e-05 1.15e-03 3 7.666005e34 -7.67e34 4.99e03 0.00e00 -1.68e31 1.56e02 1 2.89e-05 1.56e-03 4 3.875752e34 -3.88e34 4.99e03 0.00e00 -8.50e30 9.77e00 1 1.43e-05 1.90e-03 5 2.984885e30 -2.98e30 4.99e03 0.00e00 -6.64e26 3.05e-01 1 3.58e-05 2.18e-03 6 4.698247e07 -4.70e07 4.99e03 0.00e00 -2.43e04 4.77e-03 1 6.20e-06 2.45e-03 7 5.075148e03 5.19e01 5.81e03 0.00e00 1.08e00 1.43e-02 1 4.67e-05 2.84e-03 8 4.873439e03 2.02e02 9.07e03 1.08e-01 1.26e00 4.29e-02 1 2.08e-05 3.01e-03 9 3.776580e03 1.10e03 2.66e04 2.86e-01 1.84e00 1.29e-01 1 1.92e-05 3.29e-03 10 9.518702e02 2.82e03 4.90e04 3.75e-01 1.74e00 3.86e-01 1 1.77e-05 3.48e-03 11 1.461114e02 8.06e02 2.43e04 1.29e-01 1.12e00 1.16e00 1 1.71e-05 3.69e-03 12 3.388251e01 1.12e02 3.01e03 5.23e-02 1.02e00 3.48e00 1 1.71e-05 3.88e-03 13 2.579351e01 8.09e00 1.46e03 2.50e-02 1.01e00 1.04e01 1 1.55e-05 4.20e-03 14 1.662811e01 9.17e00 1.35e03 3.54e-02 9.96e-01 3.13e01 1 1.38e-05 4.56e-03 15 6.626112e00 1.00e01 7.18e02 4.17e-02 9.80e-01 9.39e01 1 1.52e-05 4.70e-03 16 1.633045e00 4.99e00 2.45e02 2.66e-02 9.64e-01 2.82e02 1 4.87e-05 5.15e-03 17 3.715462e-01 1.26e00 5.74e01 2.98e-02 9.75e-01 8.45e02 1 4.89e-05 5.78e-03 18 2.207972e-01 1.51e-01 8.88e00 1.71e-02 9.98e-01 2.53e03 1 5.97e-05 6.43e-03 19 2.156097e-01 5.19e-03 6.47e-01 3.87e-03 1.01e00 7.60e03 1 3.51e-05 7.07e-03 20 2.155782e-01 3.15e-05 1.99e-02 3.20e-04 1.01e00 2.28e04 1 3.61e-05 7.69e-03 21 2.155781e-01 3.38e-08 3.28e-04 1.05e-05 1.01e00 6.84e04 1 6.85e-05 8.13e-03 22 2.155781e-01 1.07e-11 3.90e-06 1.87e-07 1.01e00 2.05e05 1 2.97e-05 8.33e-03 Ceres Solver Report: Iterations: 23, Initial cost: 5.127046e03, Final cost: 2.155781e-01, Termination: CONVERGENCE --- 拟合完成 --- 估计参数: a0.0500655, b-0.400392, c0.996087 真实参数: a0.05, b-0.4, c1 最终残差平方和: 0.431156 参数标准差 (近似): a: ±0.000357974 b: ±0.00223108 c: ±0.00464517大部分内容是 Ceres 输出的优化报告ceres::Solver::Summary summary; ceres::Solve(options, problem, summary); cout summary.BriefReport() \n;先看看最终汇总行的内容Ceres Solver Report: Iterations: 23, Initial cost: 5.127046e03, Final cost: 2.155781e-01, Termination: CONVERGENCE汇总行中字段的含义是字段含义结果解读Iterations: 23总迭代次数从第 0 次到第 22 次共执行 23 轮优化Initial cost初始目标函数值即12∑r2i初值(0,0,0)下误差很大≈5127Final cost最终目标函数值收敛到 ≈0.2156非常小Termination: CONVERGENCE终止原因✅ 正常收敛满足梯度或步长停止条件注意 Ceres 中cost12∑r2i这是为了在计算 Jacobian 和梯度的的时候无需额外除以 2 或乘以 2使用 LM 方法求解就能使用更为简洁的形式。而在具体的迭代日志中字段的含义如下列名全称 / 数学含义单位 / 类型说明iter迭代序号整数从 0 开始计数cost当前总代价C(θ)12∑Ni1ri(θ)2标量浮点越小越好理想情况趋近于 0cost_change上次 cost − 本次 cost浮点• 正值代价下降好• 负值代价上升异常通常因步长过大• 接近 0趋于收敛gradient梯度范数|∇θC(θ)|2浮点衡量当前点是否接近极小值• 大 → 远离最优• 小如 1e-6→ 接近收敛step参数更新步长|Δθ|2浮点• 大参数剧烈变化• 小如 1e-6→ 参数几乎不变可能收敛tr_ratio信任域比率Trust Region Ratioρ实际代价下降局部模型预测下降无量纲•ρ≈1模型准确可增大步长• ρ≪0预测失败需缩小步长• ρ0代价反而上升步长过大tr_radius信任域半径Trust Region Radius参数空间尺度控制最大允许步长• 小 → 保守更新• 大 → 激进更新接近牛顿法ls_iter线搜索迭代次数整数在 Levenberg-MarquardtLM模式下恒为 1因为 LM 是信任域方法不使用线搜索iter_time本次迭代耗时秒s通常为微秒级1e-5 ~ 1e-4 stotal_time累计总耗时秒s从开始到当前迭代的总时间从迭代日志中可以看到迭代过程大概分成三个阶段初期爆炸iter 1–6cost从 5e3 飙升到 8e34。原因是初始猜测(a,b,c)(0,0,0)导致模型 ye01但真实数据可能远大于 1。第一步尝试大步长但exp(a x² ...)对参数极度敏感导致数值溢出。Ceres 自动缩小tr_radius1e4 → 1e-3稳住优化——这是 LM 算法鲁棒性的体现。中期快速下降iter 7–15cost从 5e3 快速降至 6.6tr_ratio ≈ 1说明局部线性模型有效tr_radius开始扩大1e-2 → 1e2进入高效牛顿阶段。后期精细收敛iter 16–22gradient从 245 降至3.9e-6step降至1.87e-7tr_ratio ≈ 1.01直到满足默认收敛条件比如梯度足够小正常终止。2.4 输出精度精度是用户最为关心的问题ceres::Covariance是 Ceres 提供的一个后处理工具类用于在优化完成后估计参数的协方差矩阵从而得到每个参数的不确定性标准差。首先是使用默认选项创建协方差计算器其中cov_options可设置算法如是否使用 sparse、内存策略等// 1. 创建 Covariance 对象 ceres::Covariance::Options cov_options; ceres::Covariance covariance(cov_options);为了提升效率Covariance::Compute不会自动计算所有参数的完整协方差矩阵因此需要显式声明只关心 a、b、c 各自的方差即对角线元素// 2. 指定要计算哪些参数块之间的协方差 vectorpairconst double*, const double* covariance_blocks; covariance_blocks.emplace_back(a, a); // a 与 a 的协方差 → 方差 covariance_blocks.emplace_back(b, b); // b 的方差 covariance_blocks.emplace_back(c, c); // c 的方差Ceres 会在当前参数值即优化后的 a, b, c处重新计算 Jacobian然后构建并求解 (J⊤J)−1 的指定子块// 3. 执行协方差计算在 problem 的当前解处线性化 if (!covariance.Compute(covariance_blocks, problem)) { cerr 协方差计算失败 endl; return 1; }提取各参数的归一化方差// 4. 提取各参数的“归一化”方差即 (JᵀJ)⁻¹ 的对角元 double cov_a, cov_b, cov_c; covariance.GetCovarianceBlock(a, a, cov_a); // cov_a [(JᵀJ)⁻¹]_{aa} covariance.GetCovarianceBlock(b, b, cov_b); covariance.GetCovarianceBlock(c, c, cov_c);计算噪声尺度 σ2// 5. 估计噪声方差 σ² RSS / (N - p) double sigma2 final_cost / (N - 3);计算最终标准差也就是最终的精度// 6. 计算最终标准差std sqrt(σ² × (JᵀJ)⁻¹_ii) double std_a sqrt(cov_a * sigma2); double std_b sqrt(cov_b * sigma2); double std_c sqrt(cov_c * sigma2);3 补充3.1 资源管理回到构建 Ceres 问题的关键代码// // 4. 构建 Ceres 问题 // ceres::Problem problem; for (int i 0; i N; i) { ceres::CostFunction* cost_function new ceres::AutoDiffCostFunctionExpModelResidual, 1, 1, 1, 1( new ExpModelResidual(x_data[i], y_data[i])); problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, a, b, c); }可以看到这里使用了new但是没有对应的delete不是代码中存在遗漏而是 Ceres 的 API 设计是基于裸指针 显式所有权转移来实现的。这种设计在 C 中非常常见比如Qt简而言之就是一个对象会托管住其数据成员的所有权。在这里就是Problem会在自身析构时自动delete所有它拥有的CostFunction,AutoDiffCostFunction又会托管住一个new出来的ExpModelResidual*。像这样一层一层嵌套只用管理Problem对象就可以控制整个链条的资源。3.2 自动求导在ExpModelResidual中虽然定义了残差计算:ri(a,b,c)yi−exp(a∗xi²b∗xic)但 Ceres 需要残差值用于计算总代价 ∑r2i雅可比矩阵用于构建 JTJ 和梯度 JTrCeres 的解决方案是通过模板参数类型T的不同让同一个operator()既能算值又能算导数:template typename T bool operator()(const T* a, const T* b, const T* c, T* residual) const { T exponent (*a) * T(x_) * T(x_) (*b) * T(x_) (*c); T y_pred ceres::exp(exponent); // ← 重要用 ceres::exp residual[0] T(y_) - y_pred; return true; }在这里T可以是double纯数值也可以是ceres::Jetdouble, 3数值导数。自动微分包装器AutoDiffCostFunction使用了这个ExpModelResidual作为模板参数new ceres::AutoDiffCostFunctionExpModelResidual, 1, 1, 1, 1(...)这些模板参数含义是参数含义ExpModelResidual你的残差计算类1残差维度每个观测产生 1 个残差1, 1, 1三个参数块的维度a、b、c 各 1 维当 Ceres 执行 LM 算法时会分两步调用AutoDiffCostFunction。当需要计算残差值时Ceres 内部调用// T double ExpModelResidual r(x_i, y_i); double residual_val; r(a_val, b_val, c_val, residual_val); // 正常数值计算当需要计算雅可比矩阵时。Ceres 构造特殊的Jet 数值// T ceres::Jetdouble, 3 ceres::Jetdouble, 3 a_jet(0.05, {1, 0, 0}); // 当前 a0.05∂a/∂a1 ceres::Jetdouble, 3 b_jet(-0.4, {0, 1, 0}); // ∂b/∂b1 ceres::Jetdouble, 3 c_jet(1.0, {0, 0, 1}); // ∂c/∂c1然后调用ExpModelResidual r(x_i, y_i); ceres::Jetdouble, 3 residual_jet; r(a_jet, b_jet, c_jet, residual_jet); // 关键注意这里 ceres::JetT, N 是一个模板结构体大概定义如下templatetypename T, int N struct Jet { T a; // 函数值value Eigen::MatrixT, N, 1 v; // 对 N 个参数的偏导数gradient Jet() : a(0.0), v(Eigen::MatrixT, N, 1::Zero()) {} Jet(const T value) : a(value), v(Eigen::MatrixT, N, 1::Zero()) {} Jet(const T value, const Eigen::MatrixT, N, 1 derivatives) : a(value), v(derivatives) {} };如果使用 Ceres 的内置函数计算 Jet 类型的数值就可以自动传播导数。例如这里使用的ceres::exptemplatetypename T, int N inline JetT, N exp(const JetT, N x) { T exp_a std::exp(x.a); // 标量指数值 return JetT, N(exp_a, exp_a * x.v); // 导数 exp(x) * dx/dθ }代入到ExpModelResidual的operator()其运算的过程就是// exponent a*x² b*x c // Jet 运算规则值相加导数也相加 exponent a_jet * 4.0 b_jet * 2.0 c_jet; // x_i2.0 // → exponent.a 0.05*4 (-0.4)*2 1.0 0.9 // → exponent.v [4.0, 2.0, 1.0] ← 这是 ∂exponent/∂[a,b,c] // y_pred ceres::exp(exponent) y_pred ceres::exp(exponent); // → y_pred.a exp(0.9) // → y_pred.v exp(0.9) * [4.0, 2.0, 1.0] ← 链式法则 // residual y_true - y_pred residual_jet Jet(y_i, [0,0,0]) - y_pred; // → residual.a y_i - exp(0.9) // → residual.v [0,0,0] - exp(0.9)*[4,2,1] -exp(0.9)*[4,2,1]最终residual_jet.v就是雅可比行向量[∂ri∂a,∂ri∂b,∂ri∂c]−eax2bxc⋅[x2,x,1]4. 实践尽管笔者在上一篇文章《最小二乘问题详解8Levenberg-Marquardt方法》中手写实现了 Levenberg-MarquardtLM算法但是求解非线性最小二乘问题是一个很复杂的工程实践中更倾向于使用 Ceres 这样稳健、高效、通用的成熟库。Ceres 做的工作包含且不局限于线性代数求解器的深度优化能够自动选择最优线性求解器对于小规模稠密问题可以配置DENSE_NORMAL_CHOLESKY使用普通 Cholesky 求解对于大规模稀疏问题如 SLAM、Bundle Adjustment可以配置SPARSE_NORMAL_CHOLESKY实现稀疏 Cholesky 求解。支持多种高度优化的稀疏线性代数库例如SuiteSparse、Eigen等能处理数十万参数、上百万残差项的 Bundle Adjustment 问题。雅可比矩阵的高效构建与存储对于大规模非线性最小二乘问题雅可比矩阵非常占用内存例如 1M 观测数据 × 1K 待定参数存储 double 类型的雅可比矩阵需要 8GB 的内存空间。而 Ceres 可以实现对雅可比矩阵按需计算 稀疏表示用户只需提供每个残差块对局部参数的导数即AutoDiffCostFunction返回的小 Jacobian 块自动拼接成全局雅可比矩阵只存储非零块。信任域策略的工业级鲁棒性成熟的信任域管理智能的 λ 调整逻辑基于实际/预测下降比 ρ在噪声大、初值差、目标函数非凸的情况下仍能稳定收敛。参数约束与边界处理支持参数边界约束。损失函数Loss Function抗外点能力内置多种鲁棒损失函数例如Huber、Cauchy、SoftLOne、Tukey 等自动降低大残差的权重抑制 outlier 影响。并行化与性能工程通过CPU多线程或者GPU并行计算残差和雅克比矩阵提升问题优化效率。5. 总结不得不说要理解一个具有专业背景的库不是那么容易的事情即使你理解底层算法的原理但是工程实践又是另外一回事。只有将算法原理与工程实践融汇贯通才能真正解决问题并创造价值。