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自助建站系统源码,无锡网站制作排名,网站域名空间代理,网站推广策划思路是什么在信号分析领域#xff0c;我们经常面对这样的问题#xff1a;信号中有哪些频率成分#xff1f;这些频率在什么时候出现#xff1f;是否发生了突变#xff1f;围绕这个问题#xff0c;形成了三种非常经典、也是工程中最常用的分析工具#xff1a; 傅里叶变换#xff08…在信号分析领域我们经常面对这样的问题信号中有哪些频率成分这些频率在什么时候出现是否发生了突变围绕这个问题形成了三种非常经典、也是工程中最常用的分析工具傅里叶变换Fourier Transform, FT短时傅里叶变换Short-Time Fourier Transform, STFT小波变换Wavelet Transform, WT一、傅里叶变换FT1. 核心思想傅里叶变换回答的问题是一个信号可以分解成哪些频率的正弦波数学形式为X(f)∫−∞∞x(t),e−j2πft,dt X(f) \int_{-\infty}^{\infty} x(t), e^{-j2\pi f t}, dtX(f)∫−∞∞​x(t),e−j2πft,dt2. 使用的基函数无限长的正弦 / 余弦波或复指数形式ej2πft e^{j2\pi f t}ej2πft 特点在整个时间轴上全局存在不具备时间局部性3. 能看到什么频谱Frequency Spectrum每个频率的“总能量”但你永远不知道这些频率是在什么时候出现的。4. Python Demo频谱图importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromscipy.fftimportfft,fftfreq fs1000tnp.arange(0,2,1/fs)signalnp.sin(2*np.pi*5*t)np.sin(2*np.pi*50*t)*(t1)Nlen(signal)yffft(signal)xffftfreq(N,1/fs)plt.figure(figsize(10,4))plt.plot(xf[:N//2],np.abs(yf[:N//2]))plt.title(傅里叶频谱)plt.xlabel(频率 (Hz))plt.ylabel(幅值)plt.grid()plt.show()5. 优缺点优点数学完备、计算高效适合平稳信号缺点完全丢失时间信息对突变、瞬态信号无能为力二、短时傅里叶变换STFT1. 为什么需要 STFT傅里叶的问题在于时间信息被整体“积分”掉了解决办法很直观把信号分成一小段一小段每一段分别做傅里叶变换。2. 数学形式STFT(t,f)∫x(τ),w(τ−t),e−j2πfτdτ STFT(t,f) \int x(\tau), w(\tau - t), e^{-j2\pi f \tau} d\tauSTFT(t,f)∫x(τ),w(τ−t),e−j2πfτdτ其中w(⋅)w(\cdot)w(⋅)是固定长度窗口函数3. 使用的基函数加窗正弦波w(t−τ)⋅ej2πft w(t-\tau) \cdot e^{j2\pi f t}w(t−τ)⋅ej2πft 本质“有限时间长度的傅里叶基函数”4. 能看到什么时频图Spectrogram频率随时间变化5. Python DemoSTFT 时频图fromscipy.signalimportstft f,tt,Zxxstft(signal,fsfs,nperseg128)plt.figure(figsize(10,4))plt.pcolormesh(tt,f,np.abs(Zxx),shadinggouraud)plt.title(STFT 时频图)plt.xlabel(时间 (秒))plt.ylabel(频率 (Hz))plt.colorbar(label幅值)plt.ylim(0,150)plt.show()6. 关键问题固定分辨率STFT 有一个不可避免的物理极限窗口一旦固定时间分辨率和频率分辨率无法同时提高窗口短 → 时间准频率模糊窗口长 → 频率准时间模糊7. 优缺点优点能看时间变化工程实现简单缺点固定分辨率对低频慢变 / 高频突变同时存在的信号表现一般三、小波变换Wavelet Transform1. 小波的根本思想小波解决的问题是 STFT 的“致命缺陷”不同频率应该用不同时间尺度来观察2. 数学形式连续小波W(a,b)∫x(t),1∣a∣,ψ!(t−ba),dt W(a,b) \int x(t), \frac{1}{\sqrt{|a|}}, \psi!\left(\frac{t-b}{a}\right), dtW(a,b)∫x(t),∣a∣​1​,ψ!(at−b​),dtaaa尺度scale≈频率bbb时间平移ψ(t)\psi(t)ψ(t)母小波3. 使用的基函数可伸缩、可平移的小波函数ψa,b(t)1∣a∣ψ!(t−ba) \psi_{a,b}(t) \frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi!\left(\frac{t-b}{a}\right)ψa,b​(t)∣a∣​1​ψ!(at−b​) 特点高频 → 短窗口时间分辨率高低频 → 长窗口频率分辨率高4. 常见小波函数HaarDaubechiesdb4、db8SymletCoifletMorlet连续小波5. Python Demo连续小波时频图importpywt scalesnp.arange(1,128)coeffs,freqspywt.cwt(signal,scales,morl,sampling_period1/fs)plt.figure(figsize(10,4))plt.imshow(np.abs(coeffs),extent[0,2,freqs[-1],freqs[0]],aspectauto,cmapjet)plt.title(小波时频图)plt.xlabel(时间 (秒))plt.ylabel(频率 (Hz))plt.colorbar(label幅值)plt.show()6. 优缺点优点多分辨率分析非平稳、突变信号表现极佳边缘、瞬态不被抹平缺点小波基选择有经验性理论和实现复杂度高于 STFT四、三种方法的系统对比4.1 本质差异不是“变换形式”而是“分辨率分配策略”方法本质策略傅里叶变换把全部时间信息换成频率精度STFT在时间轴上等分窗口每段单独做傅里叶小波变换频率越高时间窗口越短频率越低时间窗口越长这背后实际上对应三种“信息分配哲学”FT假设信号是“统计稳定的”STFT假设信号“局部近似平稳”WT承认信号本质是多尺度非平稳的4.2 时间–频率不确定性原理的体现方式不同所有时频分析方法都受限于Δt⋅Δf≥C \Delta t \cdot \Delta f \ge CΔt⋅Δf≥C区别在于谁来承担这个代价方法时间分辨率频率分辨率代价承担方式FT无极高时间信息完全丢失STFT固定固定所有频段一刀切小波自适应自适应低频给频率高频给时间关键结论小波不是“突破不确定性原理”而是更聪明地分配分辨率预算。4.3 对非平稳性的适应能力信号特征FTSTFTWT平稳正弦★★★★★★★★突变★★★★★★★调频★★★★★★★冲击×★★★★★多尺度叠加×★★★★★这也是为什么在振动分析、故障诊断、生物信号领域小波逐渐成为“标配工具”。五、典型工程应用场景这一部分不再按“方法”划分而是按工程问题类型划分更贴近真实使用场景。5.1 降噪问题5.1.1 傅里叶滤波的适用条件噪声频段与信号频段明显分离噪声统计特性稳定如白噪声问题突变、边缘会被“磨平”非平稳噪声效果很差5.1.2 小波阈值去噪小波去噪利用两个事实信号在小波域是稀疏的噪声在各尺度是分散的典型流程信号 → 小波分解 → 高频系数阈值 → 重构工程优势保留突变保留相位结构去噪不引入明显延迟 常见应用ECG / EEG传感器噪声工业振动信号5.2 振动与故障检测这是 FT/STFT/WT分化最明显的场景。5.2.1 傅里叶能做什么整体频谱能量分布共振频率、主频 适合稳态旋转机械长时间统计分析5.2.2 STFT 的价值频率漂移工况切换过程 典型应用启停过程转速变化过程5.2.3 小波的“杀手级能力”冲击轴承剥落齿轮断齿裂纹早期征兆因为这些信号短时高频能量低恰好是 STFT 最不擅长、但小波最擅长的类型。5.3 非平稳复杂信号场景推荐方法单一调频STFT / Chirplet多调频叠加小波瞬态 背景振荡小波 / HHT突发事件检测小波六、总结6.1 快速选型口诀频率固定看 FT变化不快用 STFT变化复杂上小波6.2 实战推荐组合组合 1工业振动STFT 定位异常时间段 → 小波精细分析 → 特征提取 ML组合 2信号预处理小波去噪 → 傅里叶特征 → 模型训练组合 3在线监测STFT 实时监控 → 小波离线复核6.3 为什么工程上不会“只用一种方法”原因很现实FT快、稳定、可解释STFT折中、易部署小波强、但复杂真正成熟的系统几乎都是多方法协同。