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网站优化电话,重庆建企业网站,广东广州电脑个人建站,湛江网站建设皆选小罗24专业三维实射影空间RP3\mathbb{RP}^3RP3 是三维空间中所有过原点的直线的集合#xff0c;通过等价关系“两条直线等价当且仅当它们共线”构造而成。其核心性质、构造方式及与SO(3)SO(3)SO(3)的同胚关系可分述如下#xff1a; 一、核心性质拓扑结构 RP3\mathbb{RP}^3RP3是一个紧致…三维实射影空间RP3\mathbb{RP}^3RP3是三维空间中所有过原点的直线的集合通过等价关系“两条直线等价当且仅当它们共线”构造而成。其核心性质、构造方式及与SO(3)SO(3)SO(3)的同胚关系可分述如下一、核心性质拓扑结构RP3\mathbb{RP}^3RP3是一个紧致、连通、无边界的三维流形其维数与欧氏空间R3\mathbb{R}^3R3相同但全局拓扑性质不同。例如任何两个平面在RP3\mathbb{RP}^3RP3中必相交于一条直线而非欧氏空间中的平行或异面。-RP3\mathbb{RP}^3RP3不可嵌入R3\mathbb{R}^3R3中而不自交但可嵌入R4\mathbb{R}^4R4。微分结构RP3\mathbb{RP}^3RP3是可微分流形其微分结构由局部坐标卡如齐次坐标和光滑过渡映射定义允许在其上研究光滑函数和向量场。对称性RP3\mathbb{RP}^3RP3是齐性空间其自同构群为射影线性群PGL(4,R)PGL(4, \mathbb{R})PGL(4,R)即所有可逆线性变换在商空间下的作用。二、构造方式齐次坐标表示用四元齐次坐标[x0:x1:x2:x3][x_0 : x_1 : x_2 : x_3][x0​:x1​:x2​:x3​]表示点其中(x0,x1,x2,x3)∈R4∖{0}(x_0, x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^4 \setminus \{0\}(x0​,x1​,x2​,x3​)∈R4∖{0}且等价类[x0:x1:x2:x3][λx0:λx1:λx2:λx3][x_0 : x_1 : x_2 : x_3] [\lambda x_0 : \lambda x_1 : \lambda x_2 : \lambda x_3][x0​:x1​:x2​:x3​][λx0​:λx1​:λx2​:λx3​]λ≠0\lambda \neq 0λ0。球面商空间构造将三维单位球面S3{(x0,x1,x2,x3)∈R4∣x02x12x22x321}S^3 \{ (x_0, x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^4 \mid x_0^2 x_1^2 x_2^2 x_3^2 1 \}S3{(x0​,x1​,x2​,x3​)∈R4∣x02​x12​x22​x32​1}上的对径点即x\mathbf{x}x和−x-\mathbf{x}−x视为同一等价类。商空间S3/{x∼−x}S^3 / \{\mathbf{x} \sim -\mathbf{x}\}S3/{x∼−x}即为RP3\mathbb{RP}^3RP3其拓扑结构与齐次坐标定义一致。局部坐标卡例如取U0{[x0:x1:x2:x3]∣x0≠0}U_0 \{ [x_0 : x_1 : x_2 : x_3] \mid x_0 \neq 0 \}U0​{[x0​:x1​:x2​:x3​]∣x0​0}则局部坐标映射为ϕ0:U0→R3,[x0:x1:x2:x3]↦(x1x0,x2x0,x3x0).\phi_0 : U_0 \to \mathbb{R}^3, \quad [x_0 : x_1 : x_2 : x_3] \mapsto \left( \frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0}, \frac{x_3}{x_0} \right).ϕ0​:U0​→R3,[x0​:x1​:x2​:x3​]↦(x0​x1​​,x0​x2​​,x0​x3​​).类似地可定义其他坐标卡UiU_iUi​i1,2,3i 1, 2, 3i1,2,3覆盖整个RP3\mathbb{RP}^3RP3。三、与SO(3)SO(3)SO(3)的同胚关系SO(3)SO(3)SO(3)的定义SO(3)SO(3)SO(3)是三维旋转矩阵的集合满足R⊤RIR^\top R IR⊤RI且det⁡(R)1\det(R) 1det(R)1。其拓扑结构为紧致连通李群。同胚证明的核心思想单位四元数表示三维旋转可由单位四元数q(w,v)q (w, \mathbf{v})q(w,v)w2∥v∥21w^2 \|\mathbf{v}\|^2 1w2∥v∥21表示对应旋转轴v/∥v∥\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|v/∥v∥和旋转角2θ2\theta2θcos⁡θw\cos\theta wcosθw。对径点等价四元数qqq和−q-q−q表示同一旋转因此SO(3)SO(3)SO(3)同胚于单位四元数群S3S^3S3商去对径点后的空间即S3/{q∼−q}S^3 / \{\mathbf{q} \sim -\mathbf{q}\}S3/{q∼−q}。与RP3\mathbb{RP}^3RP3的等价性由球面商空间构造可知S3/{q∼−q}≅RP3S^3 / \{\mathbf{q} \sim -\mathbf{q}\} \cong \mathbb{RP}^3S3/{q∼−q}≅RP3故SO(3)≅RP3SO(3) \cong \mathbb{RP}^3SO(3)≅RP3。几何意义-SO(3)SO(3)SO(3)的每个旋转对应RP3\mathbb{RP}^3RP3中的一个点反之亦然。例如绕zzz-轴旋转角度θ\thetaθ的矩阵对应RP3\mathbb{RP}^3RP3中齐次坐标[cos⁡(θ/2):0:0:sin⁡(θ/2)][ \cos(\theta/2) : 0 : 0 : \sin(\theta/2) ][cos(θ/2):0:0:sin(θ/2)]的等价类。