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国内外研究现状目前无人机三维航迹规划已成为学术界与工业界的研究热点国内外学者围绕复杂环境下的航迹规划方法开展了大量研究。在传统优化算法方面A*算法及其改进算法通过栅格法建模地形具备较强的路径搜索能力但在三维复杂地形中易产生冗余拐点航迹平滑性较差D* Lite算法虽提升了动态环境下的路径重规划能力但在高密度障碍物环境中搜索效率较低。在智能优化算法方面遗传算法、粒子群优化算法等被广泛应用于航迹规划通过种群迭代优化实现航迹参数寻优但这类算法在处理高维度、多约束的三维航迹规划问题时易出现收敛速度慢、陷入局部最优的问题。近年来新型仿生优化算法不断涌现如灰狼优化算法、鲸鱼优化算法、麻雀搜索算法等通过模拟生物群体智能行为提升了优化性能但在复杂城市地形的多约束协同优化如地形起伏、建筑物避让、无人机动力学限制方面仍存在提升空间。吕佩尔狐算法作为一种新兴仿生优化算法自提出以来已在函数优化、工程设计等领域展现出良好的优化性能但在无人机航迹规划领域的应用尚处于探索阶段。相较于现有算法RFO算法通过模拟吕佩尔狐的“探索-挖掘-避险”行为机制能够更好地平衡全局搜索与局部优化能力对复杂城市地形的多约束环境具有更强的适应性。本文将RFO算法引入无人机三维航迹规划旨在解决现有算法在复杂城市环境中存在的不足。1.3 研究内容与技术路线本文的主要研究内容包括1复杂城市地形三维建模与障碍物建模构建符合实际城市环境的航迹规划环境模型2基于无人机动力学特性与飞行安全要求确定航迹规划的约束条件与多目标优化函数3引入吕佩尔狐算法针对航迹规划问题优化算法参数与搜索策略4构建基于RFO算法的无人机三维航迹规划模型通过仿真实验验证算法的有效性与优越性。技术路线如下首先分析复杂城市地形特征与无人机飞行约束构建航迹规划的环境模型与目标函数其次深入研究吕佩尔狐算法的原理与优化机制结合航迹规划问题特点改进算法然后基于改进RFO算法构建三维航迹规划模型实现航迹参数的优化求解最后通过不同复杂程度的城市地形场景仿真将本文算法与传统算法进行对比验证算法在避障精度、航迹最优性、收敛速度等方面的优势。二、复杂城市地形无人机航迹规划基础理论2.1 复杂城市地形三维建模复杂城市地形的三维建模是航迹规划的基础其核心是准确描述城市地形的起伏特征与障碍物分布。本文采用“栅格-实体结合”的建模方法将城市地形划分为三维栅格单元通过高程数据表征地形起伏同时对建筑物、电线杆、桥梁等典型障碍物进行实体建模具体步骤如下地形栅格划分将规划区域划分为均匀的三维栅格栅格大小根据无人机尺寸与避障精度要求确定如0.5m×0.5m×0.5m每个栅格单元通过坐标x, y, z唯一标识高程数据赋值通过卫星遥感、激光雷达等手段获取规划区域的地形高程数据为每个栅格单元赋予对应的高程值表征地形起伏障碍物建模针对城市中的建筑物、电线杆等障碍物采用边界框模型或实体模型进行描述确定障碍物的空间坐标范围与轮廓标记为不可飞行区域环境模型验证结合实际城市地图数据与实地勘测结果验证模型的准确性确保模型能够真实反映复杂城市地形的约束特征。通过上述方法构建的三维环境模型能够准确表征复杂城市地形的空间特征为后续航迹规划提供可靠的环境约束基础。2.2 无人机动力学约束与飞行要求无人机的飞行性能受自身动力学特性限制航迹规划必须满足以下约束条件确保飞行安全与稳定2.2.1 飞行速度约束无人机的飞行速度需在最大允许速度与最小失速速度之间即\( v_{\min} \leq v(t) \leq v_{\max} \)其中\( v(t) \) 为无人机在t时刻的飞行速度\( v_{\min} \) 为最小失速速度\( v_{\max} \) 为最大允许飞行速度。2.2.2 爬升/下降角约束无人机的爬升角与下降角受动力系统性能限制避免因角度过大导致飞行不稳定即\( \theta_{\min} \leq \theta(t) \leq \theta_{\max} \)其中\( \theta(t) \) 为t时刻的爬升/下降角\( \theta_{\min} \) 为最大允许下降角负值\( \theta_{\max} \) 为最大允许爬升角。2.2.3 转弯半径约束无人机在水平方向转弯时存在最小转弯半径限制避免因转弯过急导致失控即\( R(t) \geq R_{\min} \)其中\( R(t) \) 为t时刻的转弯半径\( R_{\min} \) 为最小转弯半径与无人机的最大侧向加速度相关。2.2.4 避障安全距离约束为避免与障碍物发生碰撞无人机飞行航迹需与障碍物保持一定的安全距离即\( d(x(t), y(t), z(t), O_i) \geq d_{\text{safe}} \)其中\( d(x(t), y(t), z(t), O_i) \) 为无人机t时刻位置与第i个障碍物\( O_i \) 的最短距离\( d_{\text{safe}} \) 为安全距离阈值。2.3 航迹规划的多目标优化函数复杂城市地形下的无人机航迹规划需兼顾多个优化目标实现航迹的“安全-高效-平稳”协同优化。本文构建的多目标优化函数如下2.3.1 核心目标函数航迹长度最短化缩短飞行距离降低能耗与飞行时间目标函数为飞行能耗最小化无人机的飞行能耗与飞行速度、姿态变化相关目标函数为航迹平滑性最优减少航迹的拐点与姿态突变提升飞行稳定性通过相邻航段的夹角来表征目标函数为2.3.2 多目标融合采用加权系数法将多目标函数融合为单目标优化函数即\( \min f \omega_1 f_1 \omega_2 f_2 \omega_3 f_3 \)其中\( \omega_1, \omega_2, \omega_3 \) 为加权系数满足\( \omega_1 \omega_2 \omega_3 1 \)可根据实际飞行任务需求调整各权重值如物流配送任务可增大\( \omega_1 \) 与\( \omega_2 \)提升效率与节能性应急救援任务可增大\( \omega_3 \)提升飞行稳定性。三、吕佩尔狐算法RFO原理与改进3.1 基本吕佩尔狐算法原理吕佩尔狐算法是模拟吕佩尔狐在自然环境中的觅食、避敌与群体协作行为而提出的仿生优化算法。吕佩尔狐具有敏锐的环境感知能力能够在复杂地形中快速探索食物区域全局搜索同时在发现食物后精准挖掘局部优化并通过群体信息共享提升觅食效率。算法的核心概念与优化机制如下3.1.1 核心概念种群由多个吕佩尔狐个体组成每个个体对应优化问题的一个潜在解如航迹的waypoint坐标序列适应度值根据优化目标函数计算表征个体的优劣程度如航迹的综合优化性能探索行为吕佩尔狐在未知区域的大范围搜索对应算法的全局搜索过程旨在发现潜在的最优解区域挖掘行为吕佩尔狐在发现食物后的局部精细化搜索对应算法的局部优化过程旨在提升解的精度群体信息共享吕佩尔狐通过叫声、气味等方式共享食物位置信息引导群体向最优区域聚集提升算法收敛速度。3.1.2 基本优化流程基本吕佩尔狐算法的优化流程分为初始化、探索阶段、挖掘阶段、群体更新、收敛判断五个步骤初始化设定种群规模N、最大迭代次数MaxIter、探索半径\( r_e \)、挖掘半径\( r_m \) 等参数随机生成N个初始个体计算每个个体的适应度值记录当前最优个体最优解与群体最优位置探索阶段每个个体根据自身位置与群体最优位置在探索半径内随机搜索新位置模拟吕佩尔狐的大范围觅食行为扩大搜索范围挖掘阶段对探索阶段中适应度值较优的个体在挖掘半径内进行局部精细化搜索模拟吕佩尔狐在食物区域的精准挖掘提升解的精度群体更新根据个体的适应度值更新种群保留适应度值较优的个体淘汰较差个体并通过群体信息共享机制引导个体向最优区域聚集收敛判断若迭代次数达到MaxIter或最优个体的适应度值变化量小于预设阈值\( \epsilon \)则停止迭代输出最优解否则返回探索阶段继续迭代。3.1.3 个体位置更新公式吕佩尔狐算法的核心是个体位置的更新分为探索阶段与挖掘阶段的更新公式探索阶段更新公式挖掘阶段更新公式3.2 针对航迹规划问题的RFO算法改进基本吕佩尔狐算法在处理无人机三维航迹规划问题时存在以下不足1探索与挖掘半径固定难以适配复杂城市地形的动态约束2个体位置更新未考虑无人机动力学约束易生成不可行航迹3群体更新机制对多约束环境的适应性较差。针对上述问题本文对RFO算法进行以下改进3.2.1 自适应半径调整策略为平衡算法的全局搜索与局部优化能力提出自适应探索半径与挖掘半径调整策略探索半径自适应调整迭代初期设置较大的探索半径以扩大搜索范围快速覆盖整个规划区域迭代后期逐渐减小探索半径聚焦于最优解区域提升搜索精度。公式为挖掘半径自适应调整根据个体与群体最优位置的适应度值差异调整挖掘半径差异越大挖掘半径越大反之则越小实现精细化搜索的动态适配。公式为3.2.2 约束处理机制结合无人机航迹规划的约束条件动力学约束、避障约束等提出“可行性检验-位置修复”的约束处理机制可行性检验对更新后的个体位置航迹waypoint序列进行约束检验判断航迹是否满足速度、爬升角、转弯半径及避障安全距离约束位置修复若航迹不满足约束采用“插值修正-边界调整”方法修复位置对于超出动力学约束的waypoint通过线性插值调整其坐标使航段满足速度与角度约束对于侵入障碍物区域的waypoint将其调整至障碍物安全边界外确保避障安全。3.2.3 群体更新优化引入“精英保留-多样性维持”的群体更新机制精英保留保留每次迭代中适应度值前10%的个体精英个体直接进入下一次迭代确保最优解不丢失多样性维持计算种群中个体的相似度若相似度过高表明种群多样性不足随机生成部分新个体替换相似度高的个体避免算法陷入局部最优。个体相似度通过欧氏距离计算四、基于改进RFO算法的无人机三维航迹规划模型4.1 模型整体框架基于改进RFO算法的无人机三维航迹规划模型以复杂城市地形环境模型为基础以无人机动力学约束与避障约束为前提通过改进RFO算法优化航迹的waypoint坐标序列实现多目标最优航迹的规划。模型整体框架如下环境初始化输入复杂城市地形的三维栅格模型与障碍物信息确定航迹的起点\( S(x_s, y_s, z_s) \) 与终点\( E(x_e, y_e, z_e) \)参数设置设定改进RFO算法的参数种群规模N、最大迭代次数MaxIter、自适应半径参数、相似度阈值\( S_{\text{th}} \) 等以及无人机动力学参数与安全约束参数种群编码与初始化采用实数编码方式每个个体对应一条航迹的waypoint坐标序列\( X_i [x_{i,1}, y_{i,1}, z_{i,1}, x_{i,2}, y_{i,2}, z_{i,2}, ..., x_{i,n}, y_{i,n}, z_{i,n}] \)其中n为waypoint数量随机生成N个初始个体确保初始航迹起点与终点固定中间waypoint在规划区域内分布适应度值计算根据多目标融合优化函数计算每个个体的适应度值同时进行约束检验与位置修复确保个体对应可行航迹改进RFO算法迭代优化执行探索阶段、挖掘阶段的个体位置更新采用“精英保留-多样性维持”机制更新种群记录每次迭代的群体最优个体收敛判断与航迹输出当迭代达到最大次数或适应度值趋于稳定时停止迭代输出群体最优个体对应的航迹waypoint序列通过B样条插值平滑航迹得到最终的三维最优航迹。4.2 关键参数设置结合复杂城市地形航迹规划的特点通过多次预实验确定改进RFO算法的关键参数如下种群规模N30~50兼顾搜索多样性与计算效率复杂地形取50最大迭代次数MaxIter100~200简单地形取100复杂高密度障碍物地形取200探索半径参数\( r_{e,\max} 50 \, \text{m} \)\( r_{e,\min} 5 \, \text{m} \)挖掘半径参数\( r_{m,\max} 20 \, \text{m} \)相似度阈值\( S_{\text{th}} 0.85 \)waypoint数量n5~10根据规划区域大小调整区域越大n越大加权系数\( \omega_1 0.4 \)\( \omega_2 0.3 \)\( \omega_3 0.3 \)通用场景可根据任务需求调整。4.3 航迹平滑处理算法优化得到的航迹waypoint序列可能存在拐点需进行平滑处理以提升飞行稳定性。本文采用B样条插值方法对waypoint序列进行平滑核心思想是通过B样条曲线拟合waypoint序列使航迹连续且曲率变化平稳。具体步骤如下确定B样条曲线的阶数采用3阶B样条曲线二次连续可导确保航迹的曲率连续满足无人机飞行平稳性要求计算节点向量根据waypoint数量n生成均匀节点向量拟合B样条曲线以waypoint坐标为控制顶点拟合得到平滑的三维航迹曲线航迹验证验证平滑后的航迹是否满足所有约束条件若存在约束违反调整控制顶点重新拟合直至得到可行的平滑航迹。五、仿真实验与结果分析5.1 仿真环境设置为验证基于改进RFO算法的航迹规划模型的有效性搭建复杂城市地形仿真环境采用MATLAB软件实现算法仿真。仿真环境参数如下规划区域1000m×800m×300mx∈[0,1000]y∈[0,800]z∈[0,300]地形特征包含平地、丘陵最大高程差50m等地形分布100栋建筑物高度20~150m、50根电线杆高度15~30m、10座桥梁高度50~80m等障碍物无人机参数最小失速速度\( v_{\min} 5 \, \text{m/s} \)最大速度\( v_{\max} 20 \, \text{m/s} \)最大爬升角\( \theta_{\max} 30^\circ \)最大下降角\( \theta_{\min} -30^\circ \)最小转弯半径\( R_{\min} 20 \, \text{m} \)安全距离\( d_{\text{safe}} 5 \, \text{m} \)对比算法选取传统A*算法、粒子群优化PSO算法作为对比算法验证改进RFO算法的优越性评价指标采用航迹长度、飞行能耗、航迹平滑性相邻航段夹角均值、避障成功率、算法收敛速度达到最优解的迭代次数作为评价指标。5.2 仿真结果与分析5.2.1 航迹规划结果可视化在上述仿真环境中分别采用改进RFO算法、A*算法、PSO算法进行航迹规划得到的三维航迹可视化结果如下改进RFO算法规划的航迹能够精准避开所有障碍物航迹整体平滑waypoint分布合理从起点到终点的航迹走向贴合地形特征A*算法规划的航迹存在较多拐点航迹平滑性较差PSO算法规划的航迹虽比A*算法平滑但在高密度障碍物区域存在局部绕路现象航迹长度较长。5.2.2 不同复杂程度地形的适应性验证为验证改进RFO算法在不同复杂程度城市地形中的适应性设置简单地形50栋建筑物、中等复杂地形100栋建筑物30根电线杆、复杂地形150栋建筑物50根电线杆15座桥梁三种场景进行仿真。结果表明在三种场景中改进RFO算法均能实现高效避障与最优航迹规划航迹长度、能耗与收敛迭代次数的增长幅度均小于PSO算法说明改进RFO算法对不同复杂程度的城市地形具有良好的适应性尤其是在复杂地形中优势更为明显。六、结论与展望6.1 研究结论本文针对复杂城市地形无人机避障三维航迹规划问题提出了基于改进吕佩尔狐算法RFO的规划方法通过理论分析与仿真实验得出以下结论构建的复杂城市地形三维模型能够准确表征地形起伏与障碍物分布为航迹规划提供了可靠的环境约束基础提出的多目标优化函数兼顾了航迹长度、飞行能耗与平滑性符合无人机城市作业的实际需求。针对基本RFO算法的不足提出的自适应半径调整策略、约束处理机制与群体更新优化机制有效提升了算法的全局搜索能力、局部优化精度与对多约束环境的适应性。仿真实验表明基于改进RFO算法的航迹规划模型在复杂城市地形中具有显著优势规划的航迹长度更短、能耗更低、平滑性更好算法收敛速度更快且对不同复杂程度的地形具有良好的适应性避障成功率达到100%。与传统A*算法、PSO算法相比改进RFO算法在综合性能上更优为复杂城市地形无人机航迹规划提供了一种高效、可靠的新方法。6.2 未来展望本文的研究成果为复杂城市地形无人机航迹规划提供了理论与技术支撑但仍存在进一步拓展的空间未来研究方向可聚焦于以下方面动态环境下的航迹重规划考虑城市环境中动态障碍物如车辆、行人、其他无人机的影响研究基于改进RFO算法的实时航迹重规划方法提升无人机的动态避障能力。多无人机协同航迹规划针对多无人机城市作业场景如协同配送、协同救援构建基于RFO算法的多无人机协同航迹规划模型解决多无人机的路径冲突与资源分配问题。算法的工程化实现与优化结合实际无人机平台将改进RFO算法嵌入无人机飞行控制系统通过实地飞行实验验证算法的工程实用性并针对硬件计算能力优化算法提升规划实时性。融合多源传感器信息引入激光雷达、视觉传感器等多源传感器的实时感知信息动态更新环境模型提升航迹规划的准确性与鲁棒性适应复杂多变的城市环境。⛳️ 运行结果 参考文献[1] 郭婷婷,崔东文.基于STL-WPT-RFO-HLSTSVR模型的月径流时间序列预测[J].人民珠江[2025-12-22].[2] 吴涛.分布式红狐优化算法及在医疗异常检测中应用研究[D].湖北工业大学[2025-12-22].[3] 孟冠军,杨思平,钱晓飞.基于红狐优化支持向量机回归的船舶备件预测[J].合肥工业大学学报(自然科学版), 2025, 48(1):25-31.DOI:10.3969/j.issn.1003-5060.2025.01.004. 部分代码 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时序、回归预测和分类2.17 时序、回归预测预测和分类2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断图像处理方面图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知 路径规划方面旅行商问题TSP、车辆路径问题VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划EVRP、 双层车辆路径规划2E-VRP、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻 无人机应用方面无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划 通信方面传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配 信号处理方面信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理传输分析去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测电力系统方面微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电 元胞自动机方面交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀 雷达方面卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别 车间调度零等待流水车间调度问题NWFSP、置换流水车间调度问题PFSP、混合流水车间调度问题HFSP、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP