广州seo网站优化培训个人简历模板下载免费

广州seo网站优化培训,个人简历模板下载免费,免费多用户商城系统源码,沈阳男科医院排名哪家好人工智能之数学基础 微积分 第三章 基本法则----公式关注公众号 文章目录 人工智能之数学基础 微积分前言一、为什么需要求导法则#xff1f;二、1. 链式法则#xff08;Chain Rule#xff09;✅ 核心思想数学表述#x1f4cc; 示例 三、2. 乘积法则#xff08;Product R…人工智能之数学基础 微积分第三章 基本法则----公式关注公众号文章目录人工智能之数学基础 微积分前言一、为什么需要求导法则二、1. 链式法则Chain Rule✅ 核心思想数学表述 示例三、2. 乘积法则Product Rule✅ 核心思想数学表述 示例四、3. 商法则Quotient Rule✅ 核心思想数学表述 示例五、4. 隐函数求导Implicit Differentiation✅ 核心思想步骤 示例六、Python 代码实现1. 导入库2. 链式法则符号计算与验证3. 乘积法则 vs 商法则4. 隐函数求导SymPy 支持5. 数值验证链式法则有限差分6. 可视化复合函数与导数7. 高维链式法则Jacobian 形式神经网络视角七、常见误区与技巧八、总结后续资料关注前言微积分中的求导法则是高效计算复杂函数导数的工具箱。本文系统讲解链式法则Chain Rule、乘积法则Product Rule、商法则Quotient Rule和隐函数求导Implicit Differentiation揭示其数学本质并提供完整的PythonSymPy / NumPy代码实现与可视化示例。一、为什么需要求导法则基本初等函数如$ x^n, \sin x, e^x $ 的导数可通过定义或查表获得。但现实中的函数往往是复合、乘积、商或隐式定义的例如$ f(x) \sin(x^2) $ → 需要链式法则$ f(x) x^2 e^x $ → 需要乘积法则$ f(x) \frac{\ln x}{1 x^2} $ → 需要商法则$ x^2 y^2 1 $ 圆→ 需要隐函数求导这些法则使我们能像“搭积木”一样分解复杂函数逐层求导。二、1. 链式法则Chain Rule✅ 核心思想复合函数的导数 外层导数 × 内层导数数学表述若 $ y f(u) $ $ u g(x)$ 且两者均可导则d y d x d y d u ⋅ d u d x \frac{dy}{dx} \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}dxdy​dudy​⋅dxdu​对于多层复合如 $ f(g(h(x))) $ 可连续应用d d x f ( g ( h ( x ) ) ) f ′ ( g ( h ( x ) ) ) ⋅ g ′ ( h ( x ) ) ⋅ h ′ ( x ) \frac{d}{dx} f(g(h(x))) f(g(h(x))) \cdot g(h(x)) \cdot h(x)dxd​f(g(h(x)))f′(g(h(x)))⋅g′(h(x))⋅h′(x)链式法则是反向传播Backpropagation的数学基础 示例$ f(x) \sin(x^2) $外层$ \sin(u) $ 导数 $ \cos(u) $内层$ u x^2 $ 导数 $ 2x $结果$ f’(x) \cos(x^2) \cdot 2x $$ f(x) e^{\sin x} $$ f’(x) e^{\sin x} \cdot \cos x $三、2. 乘积法则Product Rule✅ 核心思想两个函数乘积的导数 第一个导×第二个 第一个×第二个导数学表述若 $ f(x) u(x) v(x) $ 则f ′ ( x ) u ′ ( x ) v ( x ) u ( x ) v ′ ( x ) f(x) u(x) v(x) u(x) v(x)f′(x)u′(x)v(x)u(x)v′(x) 可推广到多个函数$ (uvw)’ u’vw uv’w uvw’ $ 示例$ f(x) x^2 \ln x $$ u x^2 $ , $ u’ 2x $$ v \ln x $ , $ v’ 1/x $$ f’(x) 2x \ln x x^2 \cdot \frac{1}{x} 2x \ln x x $四、3. 商法则Quotient Rule✅ 核心思想分式导数 分子导×分母 − 分子×分母导 / 分母²数学表述若 $ f(x) \frac{u(x)}{v(x)} $ $ v(x) \ne 0 $ 则f ′ ( x ) u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) [ v ( x ) ] 2 f(x) \frac{u(x) v(x) - u(x) v(x)}{[v(x)]^2}f′(x)[v(x)]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)​⚠️ 注意不是$ \frac{u’}{v’} $ 示例$ f(x) \frac{\sin x}{x} $$ u \sin x $ , $ u’ \cos x $$ v x $ , $ v’ 1 $$ f’(x) \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} $五、4. 隐函数求导Implicit Differentiation✅ 核心思想当 $ y $ 不能显式表示为 $ x $ 的函数时对等式两边同时对 $ x $ 求导并将 $ y $ 视为$ x $ 的函数即 $ \frac{dy}{dx} $ 存在步骤对等式两边关于 $ x $ 求导遇到 $ y $ 时使用链式法则$ \frac{d}{dx} y \frac{dy}{dx} $ 解出 $ \frac{dy}{dx} $ 。 示例圆方程$ x^2 y^2 1 $两边对 $ x $ 求导2 x 2 y d y d x 0 2x 2y \frac{dy}{dx} 02x2ydxdy​0解出d y d x − x y \frac{dy}{dx} -\frac{x}{y}dxdy​−yx​✅ 在点 $ (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) $ 斜率 -1符合几何直觉。六、Python 代码实现1. 导入库importsympyasspimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt# 符号变量xsp.symbols(x)sp.init_printing(use_unicodeTrue)2. 链式法则符号计算与验证# 定义复合函数f(x) sin(x^2)ux**2fsp.sin(u)# 直接求导df_dx_directsp.diff(f,x)# 手动应用链式法则df_dusp.diff(sp.sin(u),u)# 外层导数du_dxsp.diff(u,x)# 内层导数df_dx_chaindf_du*du_dxprint(f(x) ,f)print(直接求导: ,df_dx_direct)print(链式法则: ,sp.simplify(df_dx_chain))print(两者相等?,sp.simplify(df_dx_direct-df_dx_chain)0)输出f(x) sin(x**2) 直接求导: 2*x*cos(x**2) 链式法则: 2*x*cos(x**2) 两者相等? True3. 乘积法则 vs 商法则# 乘积f(x) x^2 * ln(x)f_prodx**2*sp.log(x)df_prodsp.diff(f_prod,x)print(乘积法则结果:,df_prod)# 商f(x) sin(x) / xf_quotsp.sin(x)/x df_quotsp.diff(f_quot,x)print(商法则结果:,sp.simplify(df_quot))4. 隐函数求导SymPy 支持# 定义隐函数x^2 y^2 1ysp.Function(y)(x)# y 是 x 的函数implicit_eqx**2y**2-1# 对两边求导d_implicitsp.diff(implicit_eq,x)# 解出 dy/dxdy_dxsp.solve(d_implicit,sp.diff(y,x))[0]print(隐函数方程:,implicit_eq, 0)print(dy/dx ,dy_dx)# 替换 y 为符号以便显示y_symsp.symbols(y)dy_dx_displaydy_dx.subs(sp.Derivative(y,x),sp.Symbol(y\)).subs(y,y_sym)print(显示形式:,-x/y_sym)5. 数值验证链式法则有限差分deff(x):returnnp.sin(x**2)defnumerical_derivative(func,x,h1e-6):return(func(xh)-func(x-h))/(2*h)x01.0num_derivnumerical_derivative(f,x0)analytic_deriv2*x0*np.cos(x0**2)print(f\n在 x {x0}:)print(f数值导数:{num_deriv:.6f})print(f解析导数链式法则:{analytic_deriv:.6f})print(f误差:{abs(num_deriv-analytic_deriv):.2e})6. 可视化复合函数与导数# 函数f(x) sin(x^2)x_valsnp.linspace(-2,2,400)f_valsnp.sin(x_vals**2)df_vals2*x_vals*np.cos(x_vals**2)plt.figure(figsize(10,4))plt.subplot(1,2,1)plt.plot(x_vals,f_vals,b-,labelr$f(x) \sin(x^2)$)plt.title(原函数)plt.xlabel(x);plt.ylabel(f(x))plt.grid(True);plt.legend()plt.subplot(1,2,2)plt.plot(x_vals,df_vals,r--,labelr$f(x) 2x \cos(x^2)$)plt.title(导函数链式法则结果)plt.xlabel(x);plt.ylabel(f(x))plt.grid(True);plt.legend()plt.tight_layout()plt.show() 可见导数在 $x0 $ 处为 0在 $ x \pm\sqrt{\pi/2} $ 处振荡加剧。7. 高维链式法则Jacobian 形式神经网络视角在深度学习中损失 $ L $ 通过多层参数传递。设$ z W x b $$ a \sigma(z) $ 激活函数$ L \text{loss}(a) $则∂ L ∂ W ∂ L ∂ a ⋅ ∂ a ∂ z ⋅ ∂ z ∂ W \frac{\partial L}{\partial W} \frac{\partial L}{\partial a} \cdot \frac{\partial a}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial W}∂W∂L​∂a∂L​⋅∂z∂a​⋅∂W∂z​用 NumPy 模拟# 模拟前向传播np.random.seed(0)xnp.random.randn(3,1)Wnp.random.randn(2,3)bnp.random.randn(2,1)zW xb a1/(1np.exp(-z))# sigmoidLnp.sum(a**2)# 简单损失# 手动反向传播链式法则dL_da2*a da_dza*(1-a)# sigmoid 导数dL_dzdL_da*da_dz dL_dWdL_dz x.T# 外积print(dL/dW (手动链式法则):\n,dL_dW)# 用自动微分库如 JAX验证可选try:importjax.numpyasjnpfromjaximportgrad,jacfwddefloss(W_flat,x,b):WW_flat.reshape(2,3)zW xb a1/(1jnp.exp(-z))returnjnp.sum(a**2)W_flatW.flatten()dL_dW_jaxgrad(loss)(W_flat,x,b).reshape(2,3)print(dL/dW (JAX 自动微分):\n,dL_dW_jax)print(误差:,np.linalg.norm(dL_dW-np.array(dL_dW_jax)))exceptImportError:pass七、常见误区与技巧误区正确认知“链式法则只用于两层”可无限嵌套如 $ f(g(h(k(x)))) $“乘积法则可推广为 $ (uv)’ u’v’ $ ”错正确是 $ u’v uv’ $“商法则很难记”记作低 d 高减高 d 低除以低平方“低”分母“高”分子“隐函数求导很神秘”本质是链式法则 方程求解✅记忆技巧链式法则剥洋葱从外到内乘积法则轮流求导保持另一个不变商法则分子像乘积法则但带负号再除分母平方八、总结法则公式应用场景链式法则$ (f \circ g)’ f’(g) \cdot g’ $复合函数、神经网络反向传播乘积法则$ (uv)’ u’v uv’ $两个函数相乘商法则$ (u/v)’ \frac{u’v - uv’}{v^2} $分式函数隐函数求导对等式两边求导解 $ y’ $曲线、约束优化建议先识别函数结构复合乘积商隐式选择合适法则逐步分解用 SymPy 验证复杂导数在机器学习中链式法则是理解梯度流动的关键。后续python过渡项目部分代码已经上传至gitee后续会逐步更新。资料关注公众号咚咚王giteehttps://gitee.com/wy18585051844/ai_learning《Python编程从入门到实践》《利用Python进行数据分析》《算法导论中文第三版》《概率论与数理统计第四版 (盛骤) 》《程序员的数学》《线性代数应该这样学第3版》《微积分和数学分析引论》《西瓜书周志华-机器学习》《TensorFlow机器学习实战指南》《Sklearn与TensorFlow机器学习实用指南》《模式识别第四版》《深度学习 deep learning》伊恩·古德费洛著 花书《Python深度学习第二版(中文版)【纯文本】 (登封大数据 (Francois Choliet)) (Z-Library)》《深入浅出神经网络与深度学习(迈克尔·尼尔森MichaelNielsen》《自然语言处理综论 第2版》《Natural-Language-Processing-with-PyTorch》《计算机视觉-算法与应用(中文版)》《Learning OpenCV 4》《AIGC智能创作时代》杜雨张孜铭《AIGC原理与实践零基础学大语言模型、扩散模型和多模态模型》《从零构建大语言模型中文版》《实战AI大模型》《AI 3.0》