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深圳定制专业网站,wordpress登录才可访问,北京app网站建设,网络广告效果评估第一部分#xff1a;复数的两种面孔——认识你的工具复数 z 就像一个平面上的点#xff0c;有两种描述方式#xff1a;1. 矩形坐标形式#xff1a;z a jba#xff1a;在实轴#xff08;东西方向#xff09;的位置b#xff1a;在虚轴#xff08;南北方向#xff09;…第一部分复数的两种面孔——认识你的工具复数z就像一个平面上的点有两种描述方式1. 矩形坐标形式z a jba在实轴东西方向的位置b在虚轴南北方向的位置j就是虚数单位j √(-1)数学用i工程用j比喻就像地图上的(经度, 纬度)。2. 极坐标形式z r·e^(jθ)这是核心r模/幅度箭头长度r |z| ≥ 0θ辐角/相位箭头与正实轴的夹角单位弧度e^(jθ)魔法部分代表一个长度为1角度为θ的旋转因子。比喻就像指南针的(距离, 方向角)。两种形式的关系a r·cosθ,b r·sinθr √(a² b²),θ atan2(b, a)atan2是四象限反正切第二部分核心运算性质——用旋转箭头理解性质1复数的加减法最好用矩形形式规则实部与实部相加减虚部与虚部相加减。(a jb) ± (c jd) (a ± c) j(b ± d)几何意义向量的加减。就像在平面上走两步先走向量1再走向量2结果是从起点到终点的总位移。性质2复数的乘法极坐标形式是王牌规则极坐标模长相乘相位相加(r₁·e^(jθ₁)) × (r₂·e^(jθ₂)) (r₁·r₂)·e^(j(θ₁θ₂))为什么乘法就是缩放 旋转。第一个箭头长度r₁角度θ₁。乘上r₂·e^(jθ₂)相当于先把长度拉伸r₂倍 → 新长度r₁·r₂再逆时针旋转θ₂角 → 新角度θ₁ θ₂例子乘上j e^(jπ/2)就是逆时针旋转90度长度不变。性质3复数的除法极坐标形式也是王牌规则极坐标模长相除相位相减(r₁·e^(jθ₁)) ÷ (r₂·e^(jθ₂)) (r₁/r₂)·e^(j(θ₁-θ₂))几何意义反向的缩放和旋转。性质4复数的共轭镜像操作复数z a jb r·e^(jθ)的共轭记为z*z* a - jb r·e^(-jθ)几何意义关于实轴的镜像反射。长度r不变相位θ变为-θ魔法性质z × z* r²变成一个纯实数z z* 2a实部的两倍z - z* j·2b虚部的两倍乘以j信号处理意义这是实信号频谱对称性的根源性质5复数的n次方与开方极坐标形式的威力规则极坐标n次方[r·e^(jθ)]ⁿ rⁿ·e^(j·nθ)模长n次方相位n倍开n次方[r·e^(jθ)]^(1/n) r^(1/n)·e^(j·(θ2kπ)/n), k0,1,…,n-1几何意义平方 → 长度平方角度加倍平方根 → 长度开方角度减半但有两个解相差180度例子求j的平方根。j e^(jπ/2)平方根√j e^(jπ/4) (√2/2)(1j)和e^(j5π/4) -(√2/2)(1j)验证两个解平方后都等于j第三部分复指数函数的魔法——信号处理的灵魂定义e^(jθ) cosθ j·sinθ欧拉公式核心性质这是单位圆上的旋转箭头**性质1周期性e^(j(θ2π)) e^(jθ)转一圈回到原地性质2旋转的加法性e^(jθ₁)·e^(jθ₂) e^(j(θ₁θ₂))旋转角度相加性质3微积分特性最美妙的部分导数d/dθ [e^(jθ)] j·e^(jθ)几何对旋转箭头求导得到的是它速度向量这个速度方向与原方向垂直乘j就是旋转90度大小不变。积分∫ e^(jθ) dθ -j·e^(jθ) C性质4与三角函数的亲密关系cosθ (e^(jθ) e^(-jθ)) / 2sinθ (e^(jθ) - e^(-jθ)) / (2j)这是信号处理的核心桥梁把实信号拆成正负频率的旋转。第四部分信号处理中的实战例子例1为什么用复数表示信号实信号x(t) cos(ωt)。用复数表示其实是Re{e^(jωt)}取实部。好处e^(jωt)的微分、积分、滤波等运算形式极其简单还是指数形式算完再取实部得到物理信号。例2相位差如何计算两个信号s₁ A·e^(jωt),s₂ B·e^(j(ωtφ))它们的相位差 arg(s₂/s₁) arg(e^(jφ)) φ操作除法 → 相位相减。例3滤波器对复数信号的响应滤波器频率响应H(ω) |H|·e^(j∠H)输入x(t) e^(jωt)输出y(t) H(ω)·e^(jωt) |H|·e^(j(ωt∠H))解释滤波器做了两件事把幅度缩放|H|倍把相位移动∠H弧度第五部分记忆心法——“旋转箭头”工具箱运算矩形坐标极坐标推荐几何意义加减实虚部分别加减不方便向量合成乘展开较烦模长相乘相位相加缩放旋转除更烦模长相除相位相减反向缩放旋转共轭虚部变号相位变号实轴镜像n次方几乎不用模长n次方相位n倍螺旋缩放e^(jθ)cosθj sinθ单位圆上的点匀速旋转的箭头给初学者的最后建议把复数re^(jθ)想象成一个“带刻度的旋转箭头”——这是最重要的直觉。乘除运算永远先转成极坐标形式——会简单得让你吃惊。记住核心口诀相乘长度乘角度加相除长度除角度减共轭长度同角度反e^(jθ)就是角度为θ的“标准旋转单位”它是信号处理的乐高积木。复数运算在信号处理中就像扳手在机械师手中——开始觉得陌生熟练后会发现它是最自然、最强大的工具。这些性质不是要死记硬背的公式而是描述旋转世界的基本语法。